完全にカオス的なロジスティック写像のリアプノフ指数は ln 2 に等しい

ステップ1(共役)。$x=\sin^2(\pi y)$ とおく。倍角の公式を用いると $4x(1-x)=4\sin^2(\pi y)\cos^2(\pi y)=\sin^2(2\pi y)$。倍加写像 $T(y)=2y \bmod 1$ について $y' = T(y)$ とおくと、$\sin^2(\pi y') = \sin^2(2\pi y)$ は上の右辺とちょうど一致するので、$h(y)=\sin^2(\pi y)$ として $f(h(y)) = h(T(y))$ が成り立つ:r = 4 におけるロジスティック写像は倍加写像と滑らかに共役である。

ステップ2(倍加写像のリアプノフ指数)。倍加写像は微分可能な箇所では至るところ $T'(y)=2$ である区分線形写像なので、あらゆる軌道に沿って、任意の $n$ に対して $\tfrac1n\sum_{i=0}^{n-1}\ln|T'(y_i)| = \ln 2$ がちょうど成り立つ——極限は自明に $\ln 2$ である。

ステップ3(共役を通して指数を運ぶ)。連鎖律により $f(h(y))=h(T(y))$ を微分すると $f'(h(y))h'(y)=h'(T(y))T'(y)$、すなわち $x=h(y)$ において $\ln|f'(x)| = \ln|h'(T(y))| + \ln|T'(y)| - \ln|h'(y)|$ となる。この等式を軌道 $y_0,y_1,\dots,y_{n-1}$ に沿って足し合わせ $n$ で割ると、中間の項がドミノ式に相殺し $\tfrac1n\sum_{i=0}^{n-1}\ln|f'(x_i)| = \ln2+\tfrac1n\big[\ln|h'(y_n)|-\ln|h'(y_0)|\big]$ となる。

ステップ4(境界項が消える)。$h'(y)=\pi\sin(2\pi y)$ は有界(その大きさは決して $\pi$ を超えない)なので、括弧内の項 $\ln|h'(y_n)|-\ln|h'(y_0)|$ は、$h'$ の可算個の零点——ルベーグ測度ゼロの集合——を避けるあらゆる軌道について $n\to\infty$ としても有界のままである。有界な量を $n$ で割ると $0$ に収束するので、r = 4 におけるロジスティック写像のリアプノフ指数は、ほとんど全ての初期条件について $\ln 2$ に等しい。