カオス理論

平衡点における写像の導関数は、そこでの微小な摂動が一段階後にどれだけ成長または縮小するかを測る。その大きさが1を超えると、その点は引き込み型から反発型へと反転し、写像の2回合成写像の傾きがちょうどその閾値で $(-1)^2=1$ となるため、まさに新たな周期2軌道が分岐しうる。

ステップ1(平衡点を求める)。$rx(1-x)=x$ を解く、すなわち $x[r(1-x)-1]=0$。これにより $x=0$ または非自明な平衡点 $x^* = 1-\tfrac{1}{r}$ が得られ、これは $r>1$ のときちょうど $(0,1)$ に属する。

ステップ2(線形化)。微分すると $f'(x)=r-2rx$。非自明な平衡点で評価すると $f'(x^*) = r - 2r\left(1-\tfrac1r\right) = r - 2r + 2 = 2-r$ となり、$f'(x^*) = 2-r$。

ステップ3(安定性の判定基準)。平衡点が局所的に安定であるのはちょうど $|f'(x^*)|<1$ のときであり、すなわち $|2-r|<1$ で、これは $1<r<3$ と書き換えられる。したがって $x^*$ はこの範囲全体で近くの軌道を引き寄せる。

ステップ4(r = 3 での分岐)。ちょうど $r=3$ で $f'(x^*)=-1$ となり、線形化は境界的である。$r$ が3をわずかに超えると $|f'(x^*)|>1$ となり $x^*$ は反発点になる。一方、二回合成写像 $f\circ f$ は連鎖律により、$r=3$ ちょうどで $x^*$ における導関数が $f'(x^*)^2=1$ となる。$f\circ f$ をより高次に展開すると、この退化点が $r$ が3を超えて増加するにつれて $f\circ f$ の二つの真に新しい平衡点(すなわち $f$ の安定な周期2軌道)へと分裂することが示される——これが周期倍増分岐である。

r = 4 での写像は一見単純な倍加写像とはまったく異なって見えるが、巧妙な変数変換(滑らかな共役)によって、あらゆる点で引き伸ばし率が明らかに2である倍加写像そのものに変換される——変数変換によって生じる余分な歪みは、長時間にわたって平均するとゼロに帰着する。

ステップ1(共役)。$x=\sin^2(\pi y)$ とおく。倍角の公式を用いると $4x(1-x)=4\sin^2(\pi y)\cos^2(\pi y)=\sin^2(2\pi y)$。倍加写像 $T(y)=2y \bmod 1$ について $y' = T(y)$ とおくと、$\sin^2(\pi y') = \sin^2(2\pi y)$ は上の右辺とちょうど一致するので、$h(y)=\sin^2(\pi y)$ として $f(h(y)) = h(T(y))$ が成り立つ:r = 4 におけるロジスティック写像は倍加写像と滑らかに共役である。

ステップ2(倍加写像のリアプノフ指数)。倍加写像は微分可能な箇所では至るところ $T'(y)=2$ である区分線形写像なので、あらゆる軌道に沿って、任意の $n$ に対して $\tfrac1n\sum_{i=0}^{n-1}\ln|T'(y_i)| = \ln 2$ がちょうど成り立つ——極限は自明に $\ln 2$ である。

ステップ3(共役を通して指数を運ぶ)。連鎖律により $f(h(y))=h(T(y))$ を微分すると $f'(h(y))h'(y)=h'(T(y))T'(y)$、すなわち $x=h(y)$ において $\ln|f'(x)| = \ln|h'(T(y))| + \ln|T'(y)| - \ln|h'(y)|$ となる。この等式を軌道 $y_0,y_1,\dots,y_{n-1}$ に沿って足し合わせ $n$ で割ると、中間の項がドミノ式に相殺し $\tfrac1n\sum_{i=0}^{n-1}\ln|f'(x_i)| = \ln2+\tfrac1n\big[\ln|h'(y_n)|-\ln|h'(y_0)|\big]$ となる。

ステップ4(境界項が消える)。$h'(y)=\pi\sin(2\pi y)$ は有界(その大きさは決して $\pi$ を超えない)なので、括弧内の項 $\ln|h'(y_n)|-\ln|h'(y_0)|$ は、$h'$ の可算個の零点——ルベーグ測度ゼロの集合——を避けるあらゆる軌道について $n\to\infty$ としても有界のままである。有界な量を $n$ で割ると $0$ に収束するので、r = 4 におけるロジスティック写像のリアプノフ指数は、ほとんど全ての初期条件について $\ln 2$ に等しい。