r = 3 におけるロジスティック写像の周期倍増

ステップ1(平衡点を求める)。$rx(1-x)=x$ を解く、すなわち $x[r(1-x)-1]=0$。これにより $x=0$ または非自明な平衡点 $x^* = 1-\tfrac{1}{r}$ が得られ、これは $r>1$ のときちょうど $(0,1)$ に属する。

ステップ2(線形化)。微分すると $f'(x)=r-2rx$。非自明な平衡点で評価すると $f'(x^*) = r - 2r\left(1-\tfrac1r\right) = r - 2r + 2 = 2-r$ となり、$f'(x^*) = 2-r$。

ステップ3(安定性の判定基準)。平衡点が局所的に安定であるのはちょうど $|f'(x^*)|<1$ のときであり、すなわち $|2-r|<1$ で、これは $1<r<3$ と書き換えられる。したがって $x^*$ はこの範囲全体で近くの軌道を引き寄せる。

ステップ4(r = 3 での分岐)。ちょうど $r=3$ で $f'(x^*)=-1$ となり、線形化は境界的である。$r$ が3をわずかに超えると $|f'(x^*)|>1$ となり $x^*$ は反発点になる。一方、二回合成写像 $f\circ f$ は連鎖律により、$r=3$ ちょうどで $x^*$ における導関数が $f'(x^*)^2=1$ となる。$f\circ f$ をより高次に展開すると、この退化点が $r$ が3を超えて増加するにつれて $f\circ f$ の二つの真に新しい平衡点(すなわち $f$ の安定な周期2軌道)へと分裂することが示される——これが周期倍増分岐である。