交わる2直線に関する2つの対称移動の合成

まず、$I$ は $d_1$ と $d_2$ の両方の上にあるため、どちらの対称移動も $I$ を固定する。$I$ と異なる任意の点 $M$ をとり、$M_1 = R_{d_1}(M)$ および $M' = R_{d_2}(M_1)$ とおく。

$d_1$ は $MM_1$ の垂直二等分線であり、$d_2$ は $M_1M'$ の垂直二等分線であるため、$IM = IM_1 = IM'$ が成り立ち、$M$ と $M' = R_{d_2}(M_1)$ は $I$ を中心とする同じ円周上にある。

半直線 $\overrightarrow{IM}$ から $\overrightarrow{Id_1}$ への有向角を $\varphi_1$、$\overrightarrow{Id_1}$ から $\overrightarrow{Id_2}$ への有向角を $\varphi_2$ とする。$d_1$ に関する対称移動は $\overrightarrow{IM}$ を $2\varphi_1$ だけ回転させて $\overrightarrow{IM_1}$ に写し、$d_2$ に関する対称移動は $\overrightarrow{IM_1}$ を $2\varphi_2$ だけ回転させて $\overrightarrow{IM'}$ に写す。有向角を足し合わせると $(\overrightarrow{IM}, \overrightarrow{IM'}) = 2\varphi_1 + 2\varphi_2 = 2(\varphi_1 + \varphi_2) = 2\alpha$ となり、これは $M$ に依らない。ゆえにすべての点が $I$ の周りに $2\alpha$ だけ回転し、合成が $Q_{(I, 2\alpha)}$ に等しいことが証明された。