幾何学的変換

1回の対称移動は向きを反転させる(左手が右手になる)ため、2回続けて対称移動を行うと元の向きに戻り、裏返しを含まない剛体運動になるはずである。交点 $I$ は両方の鏡の上にあるため、どちらの対称移動も $I$ を動かさず、したがって合成された運動は $I$ を中心とする回転でなければならず、それぞれの鏡が点と鏡のなす角の2倍ずつ寄与する。

まず、$I$ は $d_1$ と $d_2$ の両方の上にあるため、どちらの対称移動も $I$ を固定する。$I$ と異なる任意の点 $M$ をとり、$M_1 = R_{d_1}(M)$ および $M' = R_{d_2}(M_1)$ とおく。

$d_1$ は $MM_1$ の垂直二等分線であり、$d_2$ は $M_1M'$ の垂直二等分線であるため、$IM = IM_1 = IM'$ が成り立ち、$M$ と $M' = R_{d_2}(M_1)$ は $I$ を中心とする同じ円周上にある。

半直線 $\overrightarrow{IM}$ から $\overrightarrow{Id_1}$ への有向角を $\varphi_1$、$\overrightarrow{Id_1}$ から $\overrightarrow{Id_2}$ への有向角を $\varphi_2$ とする。$d_1$ に関する対称移動は $\overrightarrow{IM}$ を $2\varphi_1$ だけ回転させて $\overrightarrow{IM_1}$ に写し、$d_2$ に関する対称移動は $\overrightarrow{IM_1}$ を $2\varphi_2$ だけ回転させて $\overrightarrow{IM'}$ に写す。有向角を足し合わせると $(\overrightarrow{IM}, \overrightarrow{IM'}) = 2\varphi_1 + 2\varphi_2 = 2(\varphi_1 + \varphi_2) = 2\alpha$ となり、これは $M$ に依らない。ゆえにすべての点が $I$ の周りに $2\alpha$ だけ回転し、合成が $Q_{(I, 2\alpha)}$ に等しいことが証明された。

すべての点が中心 $I$ から同じ倍率 $k$ で遠ざかる(または近づく)ため、$I$ と任意の2点 $A, B$ が作る三角形は放射状の2辺が一様に拡大縮小され、タレスの定理により第3の辺 $A'B'$ は $AB$ に平行なまま長さが $|k|$ 倍になる。面積は2次元の量(底辺×高さ)であり、底辺と高さの両方が $|k|$ 倍になるため、その積は $|k| \cdot |k| = k^2$ 倍になる。

相似変換の定義より、$\overrightarrow{IA'} = k\,\overrightarrow{IA}$ および $\overrightarrow{IB'} = k\,\overrightarrow{IB}$ である。1番目のベクトル方程式から2番目を引くと $\overrightarrow{IA'} - \overrightarrow{IB'} = k(\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB})$ が得られる。

両辺にベクトルの差の規則 $\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{BA}$ を適用すると、$\overrightarrow{B'A'} = k\,\overrightarrow{BA}$ を得る。両ベクトルの長さをとれば直ちに $A'B' = |\overrightarrow{B'A'}| = |k| \cdot |\overrightarrow{BA}| = |k| \cdot AB$ となる。

次に任意の三角形 $ABC$ を考える。$C$ から直線 $AB$ への高さ $h$ は、$C$ とその $AB$ 上への正射影 $H$ との距離である。相似変換は平行性と角度を保つため垂直性も保ち、したがって $H' = V_{(I,k)}(H)$ は $A'B'C'$ の垂線の足となる。よって底辺 $A'B' = |k|\cdot AB$ と高さ $C'H' = |k|\cdot CH$ はともに $|k|$ 倍となり、$[A'B'C'] = \tfrac{1}{2} A'B' \cdot C'H' = |k|^2 \cdot \tfrac{1}{2} AB \cdot CH = k^2 \cdot [ABC]$ が得られる。