積分判定法

ステップ1(各項を積分の帯で挟む)。$f(x)$は減少なので、任意の整数$n\ge1$と$x\in[n,n+1]$に対して$f(n+1)\le f(x)\le f(n)$が成り立つ。この単位区間で積分すると$f(n+1)\le\int_n^{n+1}f(x)\,dx\le f(n)$となる。

ステップ2(不等式を足し合わせる)。右側の不等式を$n=1,\dots,N$について足すと$\int_1^{N+1}f(x)\,dx\le\sum_{n=1}^{N}a_n=S_N$となる;左側の不等式を$n=1,\dots,N-1$について足すと$S_N-a_1\le\int_1^{N}f(x)\,dx$となる。したがって部分和$S_N$は、共に$[1,N]$のように増大する区間上の2つの積分に挟まれる。

ステップ3(収束が一方向に伝わる)。$\int_1^{\infty} f(x)\,dx$が収束するならば、$N\to\infty$のとき$\int_1^{N}f(x)\,dx$は上に有界であり、ステップ2により増加列$S_N$は上に有界となる。実数の有界な増加列は常に収束する($\mathbb{R}$の単調収束性の一形態)ので、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$は収束する。

ステップ4(発散が逆方向に伝わる)。逆に$\int_1^{\infty} f(x)\,dx$が発散する(無限に増大する)ならば、$N\to\infty$のとき$\int_1^{N+1}f(x)\,dx\to\infty$となり、ステップ2の最初の不等式により$S_N$は無限大に向かう量で下から押し上げられるので、$S_N$も無限大に発散する。ステップ3と4を組み合わせると、完全な'必要十分'条件が得られる。