部分積分法

積の法則により $(uv)' = u'v + uv'$。整理すると $uv' = (uv)' - u'v$ となる。

両辺の（$K$ 上、$x$ に関する）原始関数をとる。右辺では $(uv)'$ の原始関数が明らかに $uv$ 自身である（一意性の定理により定数だけの違いを除いて）ので、$\int uv'\,dx = \int (uv)'\,dx - \int u'v\,dx = uv - \int u'v\,dx$ となる。

$dv = v'(x)\,dx$、$du=u'(x)\,dx$ と書けば、これはコンパクトな記憶用の形 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ になる。実際には、一方の因子を（微分すべき）$u$ とし、残りを（原始関数を求めるべき）$dv$ として選ぶ。通常は微分すると簡単になる因子（多項式、対数）を微分し、原始関数を求めても扱いやすい因子（$e^x$、$\sin x$、$\cos x$）を積分する。