置換積分法

$\Phi(x) = F(g(x))$ とおく。連鎖律により、$F'=f$ なので $\Phi'(x) = F'(g(x))\cdot g'(x) = f(g(x))g'(x)$ となる。

これはまさに、定義域内のすべての $x$ で $\Phi$ が微分可能であり、その導関数が $f(g(x))g'(x)$ であることを意味する——すなわち $\Phi$ は、定義により、$f(g(x))g'(x)$ の原始関数である。

上の一意性の定理により、$f(g(x))g'(x)$ のすべての原始関数は $\Phi$ と定数だけしか異ならないので、$\int f(g(x))g'(x)\,dx = \Phi(x) + C = F(g(x)) + C$ となり、主張の通りである。実際には $u=g(x)$、$du=g'(x)\,dx$ と書き、左辺を $\int f(u)\,du = F(u)+C$ に簡単化してから、最後に $u=g(x)$ を代入し直す。