両側z検定の正確な有意水準

第1段階($H_0$ のもとでの $Z$ の分布):$X_1, \ldots, X_n$ が独立に $N(\mu_0, \sigma^2)$ に従うので、標本平均 $\bar{X}$ は $N(\mu_0, \sigma^2/n)$ に従い、標準化すると $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$ が正確に成り立つ。

第2段階(棄却事象の確率):棄却事象は $|Z| > z_{\alpha/2}$ であり、これは互いに素な2つの事象 $Z > z_{\alpha/2}$ と $Z < -z_{\alpha/2}$ に分かれるので、$P(|Z| > z_{\alpha/2}) = P(Z > z_{\alpha/2}) + P(Z < -z_{\alpha/2})$ である。

第3段階(標準正規分布の対称性を使う):標準正規密度は $0$ について対称なので、$P(Z < -z_{\alpha/2}) = P(Z > z_{\alpha/2})$ である。$z_{\alpha/2}$ の定義により、これらの確率はそれぞれ $\alpha/2$ に等しい。

第4段階(2つの部分を足す):第2段階に代入すると、$P(|Z| > z_{\alpha/2}) = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$ となり、この確率は(第1段階を使って)$H_0$ のもとで正確に計算されたものなので、主張どおり $P(\text{reject } H_0 \mid H_0) = \alpha$ が正確に成り立つ。