仮説検定

尤度比 $L(\theta_1)/L(\theta_0)$ が大きいときに棄却するということは、$\theta_0$ と比べて相対的に $\theta_1$ に最も整合する結果でちょうど棄却することを意味する。偽陽性リスクという固定された「予算」 $\alpha$ を、他のどの結果でもなくそうした結果に使うことで、得られる真陽性の検出力が最大になる。

第1段階(任意の対抗検定を設定する):$C$ を主張中の尤度比棄却域とし、その指示関数を $\phi_C$ とする。また $D$ を $P(D \mid H_0) \leq \alpha$ を満たす他の任意の検定の棄却域とし、その指示関数を $\phi_D$ とする。$\theta_1$ における検出力が $P(C \mid H_1) \geq P(D \mid H_1)$ を満たすことを示さなければならない。

第2段階(鍵となる各点での不等式):すべての結果 $x$ について、量 $(\phi_C(x) - \phi_D(x)) \cdot (L(\theta_1) - k \, L(\theta_0))$ は決して負にならない。実際、$x \in C$ ならば $L(\theta_1) > k \, L(\theta_0)$ であり $\phi_C(x) = 1$ なので $\phi_C(x) - \phi_D(x) \geq 0$ である。$x \notin C$ ならば $L(\theta_1) \leq k \, L(\theta_0)$ であり $\phi_C(x) = 0$ なので $\phi_C(x) - \phi_D(x) \leq 0$ である。いずれの場合も2つの因子の積は $\geq 0$ となる。

第3段階(不等式を足し合わせる):この非負の量をすべての結果 $x$ について足し合わせる(あるいは積分する)と、$\sum_x (\phi_C(x) - \phi_D(x)) \, L(\theta_1) - k \sum_x (\phi_C(x) - \phi_D(x)) \, L(\theta_0) \geq 0$ となり、これは $\big(P(C \mid H_1) - P(D \mid H_1)\big) - k \big(P(C \mid H_0) - P(D \mid H_0)\big) \geq 0$ と書き直せる。

第4段階(有意水準を用いて結論づける):構成により $P(C \mid H_0) = \alpha$ であり、仮定により $P(D \mid H_0) \leq \alpha$ なので、$P(C \mid H_0) - P(D \mid H_0) \geq 0$ である。$k \geq 0$ なので、第3段階の最初の括弧から非負の量の $k$ 倍を引いても不等式は強まるだけであり、$P(C \mid H_1) - P(D \mid H_1) \geq k \big(P(C \mid H_0) - P(D \mid H_0)\big) \geq 0$ となる。したがって $P(C \mid H_1) \geq P(D \mid H_1)$ が示された。

棄却域は $H_0$ のもとでの $Z$ の正確な分布から直接構成されるため、$H_0$ のもとでのその確率は単に上から抑えるのではなく正確に計算でき、選んだ水準 $\alpha$ で偽陽性率が近似的にではなく厳密に制御された検定が得られる。

第1段階($H_0$ のもとでの $Z$ の分布):$X_1, \ldots, X_n$ が独立に $N(\mu_0, \sigma^2)$ に従うので、標本平均 $\bar{X}$ は $N(\mu_0, \sigma^2/n)$ に従い、標準化すると $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$ が正確に成り立つ。

第2段階(棄却事象の確率):棄却事象は $|Z| > z_{\alpha/2}$ であり、これは互いに素な2つの事象 $Z > z_{\alpha/2}$ と $Z < -z_{\alpha/2}$ に分かれるので、$P(|Z| > z_{\alpha/2}) = P(Z > z_{\alpha/2}) + P(Z < -z_{\alpha/2})$ である。

第3段階(標準正規分布の対称性を使う):標準正規密度は $0$ について対称なので、$P(Z < -z_{\alpha/2}) = P(Z > z_{\alpha/2})$ である。$z_{\alpha/2}$ の定義により、これらの確率はそれぞれ $\alpha/2$ に等しい。

第4段階(2つの部分を足す):第2段階に代入すると、$P(|Z| > z_{\alpha/2}) = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$ となり、この確率は(第1段階を使って)$H_0$ のもとで正確に計算されたものなので、主張どおり $P(\text{reject } H_0 \mid H_0) = \alpha$ が正確に成り立つ。