ネイマン・ピアソンの補題

第1段階(任意の対抗検定を設定する):$C$ を主張中の尤度比棄却域とし、その指示関数を $\phi_C$ とする。また $D$ を $P(D \mid H_0) \leq \alpha$ を満たす他の任意の検定の棄却域とし、その指示関数を $\phi_D$ とする。$\theta_1$ における検出力が $P(C \mid H_1) \geq P(D \mid H_1)$ を満たすことを示さなければならない。

第2段階(鍵となる各点での不等式):すべての結果 $x$ について、量 $(\phi_C(x) - \phi_D(x)) \cdot (L(\theta_1) - k \, L(\theta_0))$ は決して負にならない。実際、$x \in C$ ならば $L(\theta_1) > k \, L(\theta_0)$ であり $\phi_C(x) = 1$ なので $\phi_C(x) - \phi_D(x) \geq 0$ である。$x \notin C$ ならば $L(\theta_1) \leq k \, L(\theta_0)$ であり $\phi_C(x) = 0$ なので $\phi_C(x) - \phi_D(x) \leq 0$ である。いずれの場合も2つの因子の積は $\geq 0$ となる。

第3段階(不等式を足し合わせる):この非負の量をすべての結果 $x$ について足し合わせる(あるいは積分する)と、$\sum_x (\phi_C(x) - \phi_D(x)) \, L(\theta_1) - k \sum_x (\phi_C(x) - \phi_D(x)) \, L(\theta_0) \geq 0$ となり、これは $\big(P(C \mid H_1) - P(D \mid H_1)\big) - k \big(P(C \mid H_0) - P(D \mid H_0)\big) \geq 0$ と書き直せる。

第4段階(有意水準を用いて結論づける):構成により $P(C \mid H_0) = \alpha$ であり、仮定により $P(D \mid H_0) \leq \alpha$ なので、$P(C \mid H_0) - P(D \mid H_0) \geq 0$ である。$k \geq 0$ なので、第3段階の最初の括弧から非負の量の $k$ 倍を引いても不等式は強まるだけであり、$P(C \mid H_1) - P(D \mid H_1) \geq k \big(P(C \mid H_0) - P(D \mid H_0)\big) \geq 0$ となる。したがって $P(C \mid H_1) \geq P(D \mid H_1)$ が示された。