垂直線テスト

($\Rightarrow$) $C$ がある関数 $f$ のグラフであるとする。すると $C$ のすべての点はある入力 $x_0$ に対して $(x_0,f(x_0))$ の形をしている。任意の垂直線 $x=x_0$ を固定する。その上にありうる $C$ の点は第一座標が $x_0$ であるものだけであり、$f$ は $x_0$ に対して1つの値しか割り当てないため、そのような点は $(x_0,f(x_0))$ の1つだけである。よってその直線は $C$ と高々1点で交わる。

($\Leftarrow$) 逆に、すべての垂直線が $C$ と高々1点で交わると仮定する。$f$ を次のように定義する: $C$ の点がその上にある各 $x_0$ に対して、$f(x_0)$ をその(仮定により一意な)点の $y$ 座標とする。これは各入力に高々1つの出力しか割り当てないので、$f$ はwell-definedな関数であり、構成によりそのグラフはちょうど $C$ である。

この2つの方向を合わせると、同値性が示される: 関数のグラフであることと垂直線テストに合格することは、2つの角度から見た同じ性質である。