平均値と標準偏差に対する線形変換の効果

平均について:$\bar y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(ax_i+b) = \frac{a}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}b = a\bar x + b$ となる。ここで $\frac{1}{n}\sum x_i = \bar x$ と $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}b = b$ を用いた。

散らばりについては、まず $y_i-\bar y = (ax_i+b)-(a\bar x+b) = a(x_i-\bar x)$ に注目する。定数のずれ $b$ は完全に打ち消され、倍された偏差だけが残る。

二乗して平均を取ると $s_y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a^2(x_i-\bar x)^2 = a^2 s_x^2$ となる。両辺の平方根を取ると、平方根は常に非負であるから $s_y = |a|s_x$ が得られる。