記述統計学

平均値はまさにデータの釣り合いの点として定義されている——各 $x_i$ に重りを置いたシーソーを思い浮かべてほしい——そのため平均より上の値は平均より下の値と正確に打ち消し合わなければならない。そうでなければ $\bar x$ は釣り合いの点にならない。

和を分配して展開する:$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x) = \sum_{i=1}^{n}x_i - \sum_{i=1}^{n}\bar x$。第二の和は定数 $\bar x$ を $n$ 回足し合わせるので $\sum_{i=1}^{n}\bar x = n\bar x$ となる。

定義により $\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$ であるから、両辺に $n$ を掛けると $n\bar x = \sum_{i=1}^{n}x_i$ が得られる。これは上の展開における最初の和とまったく同じ量である。

これを代入し直すと、$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x) = \sum_{i=1}^{n}x_i - n\bar x = \sum_{i=1}^{n}x_i - \sum_{i=1}^{n}x_i = 0$ となり、主張が証明される。

すべてのデータ点を同じ量 $b$ だけずらすと、平均もその分だけずれるが、点同士の相対的な散らばり方は変わらない。すべての点を $a$ 倍すると、平均も散らばりも $a$ 倍される(散らばりは負になれないため $|a|$ を使う)。

平均について:$\bar y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(ax_i+b) = \frac{a}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}b = a\bar x + b$ となる。ここで $\frac{1}{n}\sum x_i = \bar x$ と $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}b = b$ を用いた。

散らばりについては、まず $y_i-\bar y = (ax_i+b)-(a\bar x+b) = a(x_i-\bar x)$ に注目する。定数のずれ $b$ は完全に打ち消され、倍された偏差だけが残る。

二乗して平均を取ると $s_y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a^2(x_i-\bar x)^2 = a^2 s_x^2$ となる。両辺の平方根を取ると、平方根は常に非負であるから $s_y = |a|s_x$ が得られる。