リウヴィルの定理

ステップ1(カルタンの魔法公式)。任意のベクトル場$X$と形式$\omega$に対して、カルタンの公式は$\mathcal{L}_X\omega=d(\iota_X\omega)+\iota_X(d\omega)$を与える。$X$を$X_H$として適用すると、$\omega$は閉なので$d\omega=0$であり、ハミルトンベクトル場の定義により$\iota_{X_H}\omega=dH$なので、$\mathcal{L}_{X_H}\omega=d(dH)+0$が得られる。

ステップ2(形式自体は変化しない)。外微分はすべての関数に対して$d\circ d=0$を満たすので、$d(dH)=0$である。したがって$\mathcal{L}_{X_H}\omega=0$となる:ハミルトンフローは体積だけでなくシンプレクティック形式そのものを保つ。

ステップ3(最高次のべきへ移る)。体積形式は$\omega^n=\omega\wedge\cdots\wedge\omega$($n$個の因子)である。ウェッジ積上のリー微分に対するライプニッツ則から$\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n)=n\,\omega^{n-1}\wedge\mathcal{L}_{X_H}\omega$が得られ、ステップ2により$\mathcal{L}_{X_H}\omega=0$なので右辺はゼロになる:$\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n)=0$。

ステップ4(流れに沿って積分する)。$\phi_t$が$X_H$の流れであれば、$\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n)=0$はまさにすべての$t$について$\frac{d}{dt}\phi_t^{*}(\omega^n)=0$を意味する。$\phi_0=\mathrm{id}$から$\phi_0^{*}(\omega^n)=\omega^n$が成り立つので、積分するとすべての$t$について$\phi_t^{*}(\omega^n)=\omega^n$が示され、これがリウヴィルの定理である。