逆三角不等式（固有時の最大化）

**ステップ1（$\gamma_0$ に合わせた慣性系を選ぶ）。** $\gamma_0$ はまっすぐな時間的直線なので、$\gamma_0$ が空間原点に静止するような慣性座標系 $(t,x,y,z)$ を選ぶことができる：$p=(0,\mathbf 0)$、$q=(T,\mathbf 0)$（$T>0$）であり、$t\in[0,T]$ に対して $\gamma_0(t)=(t,\mathbf 0)$。計量 $ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$ はローレンツ変換のもとで不変なので、任意の曲線の固有時はすべての慣性系で同じ値を持つ。

**ステップ2（$\tau(\gamma_0)$ を計算する）。** $\gamma_0$ に沿っては空間速度が $\mathbf v(t)=\mathbf 0$ なので、$$\tau(\gamma_0) = \int_0^T \sqrt{1 - 0/c^2}\,dt = T.$$

**ステップ3（比較する曲線 $\gamma$ をパラメータ表示する）。** $p$ から $q$ への任意の未来向き時間的曲線 $\gamma$ は至る所で $dt/d\lambda > 0$ を満たすので（$c^2 dt^2 > |d\mathbf x|^2 \ge 0$ のため）、座標時 $t\in[0,T]$ によって $\gamma(t)=(t,\mathbf x(t))$（$\mathbf x(0)=\mathbf x(T)=\mathbf 0$）とパラメータ表示でき、速度 $\mathbf v(t)=d\mathbf x/dt$ は $|\mathbf v(t)|<c$ を満たす。経過する固有時は $[0,T]$ 上での $\tau = \int \sqrt{1 - v(t)^2/c^2}\,dt$ である。

ステップ4（各点での評価と等号条件）。 すべての $t\in[0,T]$ で $|\mathbf v(t)|^2\ge0$ より $0 < \sqrt{1 - |\mathbf v(t)|^2/c^2} \le 1$ であり、ある $t$ で等号が成り立つのは $\mathbf v(t)=\mathbf 0$ のとき、かつそのときに限る。$[0,T]$ 上で積分すると、$$\tau(\gamma) = \int_0^T \sqrt{1 - \frac{|\mathbf v(t)|^2}{c^2}}\,dt \le \int_0^T 1\,dt = T = \tau(\gamma_0).$$ 被積分関数は連続かつ $\le 1$ なので、等号 $\tau(\gamma)=T$ が成り立つのはすべての $t\in[0,T]$ で $\mathbf v(t)=\mathbf 0$ のときに限られ、$\mathbf x(0)=\mathbf 0$ と合わせると $\mathbf x(t)\equiv\mathbf 0$、すなわち $\gamma=\gamma_0$ が従う。