優収束定理

$g - f_n \ge 0$ がほとんど至る所で成り立つので、ファトゥの補題が適用できる:$\int \liminf_{n\to\infty}(g-f_n)\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int (g-f_n)\,d\mu$。$f_n \to f$ であるから、左辺は $\int (g-f)\,d\mu = \int g\,d\mu - \int f\,d\mu$ に等しく($\int g\,d\mu$ が有限だから成立)、右辺は $\int g\,d\mu - \limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$ に等しい。

両辺から有限量 $\int g\,d\mu$ を消去すると $-\int f\,d\mu \le -\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$、すなわち $\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu \le \int f\,d\mu$ を得る。

次に、$g+f_n \ge 0$ がほとんど至る所で成り立つので、$(g+f_n)$ にファトゥの補題を適用すると $\int (g+f)\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int (g+f_n)\,d\mu$ となり、再び $\int g\,d\mu$ を消去すると $\int f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$ を得る。

二つの不等式を組み合わせると $\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu \le \int f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$ となる。常に $\liminf \le \limsup$ が成り立つので、三つの量はすべて一致しなければならず、$\lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$ は存在して $\int f\,d\mu$ に等しい。