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解析学

測度論

集合の大きさを厳密に扱う概念で、ルベーグ積分と現代確率論の基盤をなす。

直観なぜ「長さ」には厳密な定義が必要なのか

区間 [a,b][a,b] の長さが b−ab-a であることは明らかだが、[0,1][0,1] 内の有理数の集合やフラクタルのような「野性的な」集合の「長さ」(あるいは面積、体積)とは何だろうか?測度論はこの問いに、まず「行儀のよい」部分集合の族——**σ\sigma-代数と呼ばれる——を選び、その上で一貫した大きさの概念である測度** μ\mu を定義することで答える。よく知られているように、R\mathbb{R} のすべての部分集合の族の上で一貫した測度を定義することはできない(ヴィタリ集合の構成がそれを示す)ため、適切な σ\sigma-代数へ制限することは些末な技術的事情ではなく避けられない要請である。

小区間の数を調整できる対話型リーマン和ウィジェットで、定義域分割による積分の限界を動機づけるために用いる。
リーマン和の xx 軸の分割を n=55n=55 個の小区間に細かくする:滑らかな関数に対しては和はうまく収束するが、(有理数の指示関数のような)激しく不連続な関数に対してはいくら細かくしても無駄である——ルベーグの解決策は代わりに yy 軸(値域)を水準集合に分割し、それらを測ることである。

大学厳密な定義:σ\sigma-代数、測度、ルベーグ積分

定義: σ\sigma-代数と測度空間

集合 XX 上の σ\sigma-代数 F\mathcal{F} とは、XX 自身を含み、補集合をとる操作と可算和をとる操作について閉じている部分集合の族である。測度 μ:F→[0,∞]\mu : \mathcal{F} \to [0,\infty] は μ(∅)=0\mu(\emptyset)=0 を満たし、可算加法性を持つ:可算個の互いに素な集合の和集合の測度は、各測度の和に等しい。三つ組 (X,F,μ)(X, \mathcal{F}, \mu) を測度空間と呼ぶ。X=RnX=\mathbb{R}^n、F\mathcal{F} をルベーグ可測集合の族、μ\mu が [a,b][a,b] に b−ab-a を割り当てるとき、μ\mu をルベーグ測度と呼ぶ。

μ(⋃n=1∞An)=∑n=1∞μ(An)for pairwise disjoint A1,A2,…∈F\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n) \quad \text{for pairwise disjoint } A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{F}

関数 f:X→Rf : X \to \mathbb{R} が可測であるとは、任意の実数 aa に対し f−1((a,∞))∈Ff^{-1}((a,\infty)) \in \mathcal{F} となることをいう。ルベーグ積分は段階的に構成される:まず単関数 s=∑kck1Eks = \sum_{k} c_k \mathbf{1}_{E_k}(可測集合の指示関数の有限線形結合)に対し ∫s dμ:=∑kckμ(Ek)\int s\,d\mu := \sum_k c_k \mu(E_k) と定義し、次に一般の非負可測関数 ff に対しては単関数による下からの近似によって定義する。

∫f dμ=sup⁡{∫s dμ:0≤s≤f, s simple and measurable}\int f\,d\mu = \sup\left\{ \int s\,d\mu : 0 \le s \le f,\ s \text{ simple and measurable} \right\}
リーマン積分とルベーグ積分の比較
側面リーマン積分ルベーグ積分
分割の方針定義域(xx軸)を小区間に分割する値域(yy軸)を水準集合に分割する
可積分な関数のクラスほとんど至る所連続な有界関数任意の可測関数(例:ディリクレ関数)
極限と積分の交換定理一般には一様収束が必要単調収束定理と優収束定理で十分

大学基本定理:単調収束定理と優収束定理

定理: 単調収束定理

(fn)(f_n) をほとんど至る所で各点 0≤f1≤f2≤⋯0 \le f_1 \le f_2 \le \cdots を満たす可測関数の列とし、f=lim⁡n→∞fnf = \lim_{n\to\infty} f_n をほとんど至る所での各点極限とする。このとき lim⁡n→∞∫fn dμ=∫f dμ\lim_{n\to\infty} \int f_n\,d\mu = \int f\,d\mu が成り立つ。

なぜ正しいのか?

fnf_n は増加するだけなので、nn が大きくなっても「面積」が失われたり二重に数えられたりすることはない。単関数近似を積み重ねると、累積される総面積は極限関数 ff の下の面積にちょうど収束する。

証明

∫fn dμ\int f_n\,d\mu は(fnf_n が増加するため)拡張実数値の非減少列であるから、極限 L:=lim⁡n→∞∫fn dμL := \lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu は [0,∞][0,\infty] に存在する。すべての nn について fn≤ff_n \le f であるから、積分の単調性より、任意の nn について ∫fn dμ≤∫f dμ\int f_n\,d\mu \le \int f\,d\mu が成り立ち、よって L≤∫f dμL \le \int f\,d\mu である。

逆向きの不等式を示すため、0≤s≤f0 \le s \le f を満たす任意の単関数 ss と定数 c∈(0,1)c \in (0,1) を固定する。En={x:fn(x)≥c s(x)}E_n = \{x : f_n(x) \ge c\,s(x)\} とおく。fnf_n は各点で f≥sf \ge s に増加するので、EnE_n は増加し、その和集合は(ほとんど)XX 全体になる:s(x)=0s(x)=0 であるほとんどすべての xx ではこれは自明であり、s(x)>0s(x)>0 であるほとんどすべての xx では、fn(x)→f(x)≥s(x)>c s(x)f_n(x)\to f(x) \ge s(x) > c\,s(x) であるからやがて fn(x)>c s(x)f_n(x) > c\,s(x) となる。

s=∑kck1Eks = \sum_k c_k \mathbf{1}_{E_k} と書けば、∫fn dμ≥∫Enfn dμ≥c∫Ens dμ=c∑kck μ(Ek∩En)\int f_n\,d\mu \ge \int_{E_n} f_n\,d\mu \ge c\int_{E_n} s\,d\mu = c\sum_k c_k\,\mu(E_k \cap E_n) を得る。可算加法性(測度の下からの連続性、EnE_n が XX に増加するため)により n→∞n\to\infty で μ(Ek∩En)→μ(Ek)\mu(E_k \cap E_n) \to \mu(E_k) となるので、n→∞n\to\infty とすると L≥c∑kck μ(Ek)=c∫s dμL \ge c\sum_k c_k\,\mu(E_k) = c\int s\,d\mu を得る。

c→1c \to 1 とすれば、任意の単関数 s≤fs \le f に対して L≥∫s dμL \ge \int s\,d\mu となり、そのようなすべての ss にわたる上限(まさに ∫f dμ\int f\,d\mu の定義)をとれば L≥∫f dμL \ge \int f\,d\mu を得る。上で示した L≤∫f dμL \le \int f\,d\mu と合わせて L=∫f dμL = \int f\,d\mu が結論される。

定理: 優収束定理

(fn)(f_n) をほとんど至る所で各点 fn→ff_n \to f を満たす可測関数の列とし、ある可積分関数 gg(すなわち ∫g dμ<∞\int g\,d\mu < \infty)が存在して、すべての nn についてほとんど至る所で ∣fn∣≤g|f_n| \le g を満たすとする。このとき ff は可積分であり、lim⁡n→∞∫fn dμ=∫f dμ\lim_{n\to\infty} \int f_n\,d\mu = \int f\,d\mu が成り立つ。

なぜ正しいのか?

支配関数 gg は、どの fnf_n も超えることのできない有限な総質量を持つ固定された「天井」として働き、質量が静かに無限遠へ逃げてしまうことを排除する——これはまさに、単調性に頼れない場合に素朴な極限交換の議論を打ち破る失敗のパターンである。

証明

g−fn≥0g - f_n \ge 0 がほとんど至る所で成り立つので、ファトゥの補題が適用できる:∫lim inf⁡n→∞(g−fn) dμ≤lim inf⁡n→∞∫(g−fn) dμ\int \liminf_{n\to\infty}(g-f_n)\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int (g-f_n)\,d\mu。fn→ff_n \to f であるから、左辺は ∫(g−f) dμ=∫g dμ−∫f dμ\int (g-f)\,d\mu = \int g\,d\mu - \int f\,d\mu に等しく(∫g dμ\int g\,d\mu が有限だから成立)、右辺は ∫g dμ−lim sup⁡n→∞∫fn dμ\int g\,d\mu - \limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu に等しい。

両辺から有限量 ∫g dμ\int g\,d\mu を消去すると −∫f dμ≤−lim sup⁡n→∞∫fn dμ-\int f\,d\mu \le -\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu、すなわち lim sup⁡n→∞∫fn dμ≤∫f dμ\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu \le \int f\,d\mu を得る。

次に、g+fn≥0g+f_n \ge 0 がほとんど至る所で成り立つので、(g+fn)(g+f_n) にファトゥの補題を適用すると ∫(g+f) dμ≤lim inf⁡n→∞∫(g+fn) dμ\int (g+f)\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int (g+f_n)\,d\mu となり、再び ∫g dμ\int g\,d\mu を消去すると ∫f dμ≤lim inf⁡n→∞∫fn dμ\int f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu を得る。

二つの不等式を組み合わせると lim sup⁡n→∞∫fn dμ≤∫f dμ≤lim inf⁡n→∞∫fn dμ\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu \le \int f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu となる。常に lim inf⁡≤lim sup⁡\liminf \le \limsup が成り立つので、三つの量はすべて一致しなければならず、lim⁡n→∞∫fn dμ\lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu は存在して ∫f dμ\int f\,d\mu に等しい。

大学実世界での応用と具体例

測度論は現代確率論の見えない基盤である:コルモゴロフの公理(1933年)は確率実験を総質量 11 の測度空間として定義し、期待値は文字どおりルベーグ積分となる。信号処理とフーリエ解析では、可測関数の LpL^p 空間(ルベーグ積分から構成される)がパーセバルの等式やフーリエ級数の収束の自然な舞台となる。数理ファイナンスでは、確率積分とオプション価格付けが測度論的確率論に依拠する。そしてフラクタル幾何学と画像圧縮は、非整数次元を持つ集合に意味のある「大きさ」を与えるためにルベーグ測度の一般化(ハウスドルフ測度)を用いる。

例: ディリクレ関数:ルベーグ可積分だがリーマン可積分ではない

f=1Q∩[0,1]f = \mathbf{1}_{\mathbb{Q} \cap [0,1]} を [0,1][0,1] 内の有理数の指示関数(ディリクレ関数)とする。ff がリーマン可積分でないが、ルベーグ可積分であり ∫01f dμ=0\int_0^1 f\,d\mu = 0 となることを示せ。

解答

リーマン可積分性について:[0,1][0,1] の任意の分割の任意の小区間において、有理数も無理数もともに稠密であるから、その小区間上での ff の上限は 11、下限は 00 である。したがって分割がどれだけ細かくても、すべての上リーマン和は 11、すべての下リーマン和は 00 となる。これらが共通の値に収束することは決してないので、ff はリーマン可積分ではない。

ルベーグ可積分性について:集合 Q∩[0,1]\mathbb{Q}\cap[0,1] は可算であるから {q1,q2,…}\{q_1,q_2,\ldots\} と列挙できる。ルベーグ測度の可算劣加法性により μ(Q∩[0,1])≤∑i=1∞μ({qi})=∑i=1∞0=0\mu(\mathbb{Q}\cap[0,1]) \le \sum_{i=1}^\infty \mu(\{q_i\}) = \sum_{i=1}^\infty 0 = 0 となり、Q∩[0,1]\mathbb{Q}\cap[0,1] のルベーグ測度はゼロである。

ff はこの測度ゼロの集合を除いて至る所で零関数に等しく、ルベーグ積分は測度ゼロの集合上での関数の変更に影響されないので、∫01f dμ=∫010 dμ=0\int_0^1 f\,d\mu = \int_0^1 0\,d\mu = 0 となる。

例: 単調収束定理を用いた積分の極限の計算

0≤x≤n0 \le x \le n で fn(x)=(1−xn)nf_n(x) = \left(1-\frac{x}{n}\right)^n、x>nx > n で fn(x)=0f_n(x) = 0 とする。単調収束定理を用いて lim⁡n→∞∫0∞fn dμ\lim_{n\to\infty} \int_0^\infty f_n\,d\mu を求めよ。

解答

固定した各 x≥0x \ge 0 に対して、n→∞n\to\infty のとき (1−xn)n→e−x\left(1-\frac{x}{n}\right)^n \to e^{-x} となることは標準的な微積分の事実である(対数をとり nln⁡(1−x/n)→−xn\ln(1-x/n) \to -x を用いる)。また、ln⁡\ln の凹性の帰結として、固定した xx について fn(x)f_n(x) は nn に関して非減少である。したがって 0≤f1≤f2≤⋯0 \le f_1 \le f_2 \le \cdots であり、fn→e−x1[0,∞)(x)f_n \to e^{-x}\mathbf{1}_{[0,\infty)}(x) が各点で成り立つ。

単調収束定理により、lim⁡n→∞∫0∞fn dμ=∫0∞e−x dx\lim_{n\to\infty} \int_0^\infty f_n\,d\mu = \int_0^\infty e^{-x}\,dx となる。

これは標準的な広義リーマン積分であり(ここでは e−x≥0e^{-x} \ge 0 なのでルベーグ積分と一致する)、∫0∞e−x dx=[−e−x]0∞=0−(−1)=1\int_0^\infty e^{-x}\,dx = \left[-e^{-x}\right]_0^\infty = 0 - (-1) = 1 である。よって lim⁡n→∞∫0∞fn dμ=1\lim_{n\to\infty} \int_0^\infty f_n\,d\mu = 1。

ディリクレ関数 f=1Q∩[0,1]f = \mathbf{1}_{\mathbb{Q}\cap[0,1]} のルベーグ積分 ∫01f dμ\int_0^1 f\,d\mu はいくらか。

可算加法性により、(0,1)∪(2,3)(0,1) \cup (2,3) のルベーグ測度はいくらか。

確率に対するコルモゴロフの測度論的公理において、確率実験は何に対応するか。

fn→ff_n \to f が各点で成り立ち、単一の固定された可積分関数 gg に対して ∣fn∣≤g|f_n| \le g が成り立つとき、fnf_n の単調性を必要とせずに lim⁡n→∞∫fn dμ=∫f dμ\lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu = \int f\,d\mu を正当化する定理はどれか。

参考文献

  1. Gerald B. Folland (1999). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications
  2. Donald L. Cohn (2013). Measure Theory
  3. Hong Wang, Joshua Zahl (2025). Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions · arXiv:2502.17655 [プレプリント・未査読]