ジョーンズ多項式のスケイン関係式は $V_K$ を決定する

交差点に関する帰納法による整合性の概略。 図式 $D$ の交差点を順序付け、$c(D)$ を自明な結び目の図式に到達するために切り替える必要がある交差点の数として定義する（これは常に有限である、なぜなら適切な順序で任意の図式のすべての交差点を切り替えるとそれは自明な結び目になるからである——古典的事実）。$V_K(t)$ が $c(D)$ に関する帰納法で計算できることを示す。

基底段階。 $c(D)=0$ なら $D$ はすでに自明な結び目を表しており（ライデマイスターI型の単純化から生じる分離した自明な円が追加されている場合もある）、定義により $V_K(t)=1$（分離した自明な成分が $k$ 個ある場合は正規化係数 $(-t^{1/2}-t^{-1/2})^{k-1}$ を伴い、分離絡み目に適用したスケイン関係式と整合的）。

帰納段階。 $c(D)\ge 1$ とし、切り替えると $c$ が減る交差点を1つ選ぶ。その交差点で切り替え前の図式を $D_+$（または $D_-$）、切り替え後を $D_-$（または $D_+$）とする——構成上、どちらか一方で $c$ が減少する。同じ図式でその交差点を平滑化したもの（それを取り除き、糸を別の方法で結ぶ）を $D_0$ とする；$D_0$ は全体で交差点が1つ少ないので $c$ も小さい（または基底段階で扱われる）。帰納法の仮定により、$D_-$（または $D_+$）と $D_0$ に対して $V$ はすでに分かっている。スケイン関係式 $t^{-1} V_{L_+} - t V_{L_-} = (t^{1/2}-t^{-1/2})V_{L_0}$ を未知の項について解く（例えば $V_{L_+} = t\big(V_{L_-} + (t^{1/2}-t^{-1/2})V_{L_0}\big)$）ことで $D$ に対する $V$ が計算される。

整合性（概略）。 定理の非自明な部分——この再帰的に計算された値が交差点選択の順序に依存せず、3種類のライデマイスター移動すべての下で不変であること——は、カウフマンの括弧多項式構成によって確立される：局所平滑化規則 $\langle\text{crossing}\rangle = A\langle\text{smoothing }0\rangle + A^{-1}\langle\text{smoothing }\infty\rangle$ および $\langle D\sqcup\bigcirc\rangle = (-A^2-A^{-2})\langle D\rangle$ によって $\langle D\rangle$ を定義する；$\langle D\rangle$ がライデマイスターIIとIIIの下で不変であり、ライデマイスターIの下では制御された係数だけ変化することを直接（有限の局所計算で）確認でき、それは $w(D)$（符号付き交差数であるライト数）を用いて $(-A^3)^{-w(D)}$ を掛けることで正確に相殺される；$t=A^{-4}$ を代入すると、述べたスケイン関係式を正確に満たす $V_K(t)$ が得られる。