三色彩色可能性は結び目不変量であり、三葉結び目は真の結び目である

タイプIでの不変性。 タイプIの移動は小さなループを追加または削除し、単一の糸が自分自身と交差する交差点を1つ作る。移動前の任意の有効な彩色において、その糸はループに入る前も出た後も1つの色、例えば $a$ を持つ。ねじりを加えると、下の糸が両方とも色 $a$ で、上の糸も（ループが単一の糸なので）色 $a$ に強制される交差点ができ、$a+a+a=3a\equiv 0\pmod 3$ は常に自動的に成り立つ——よって彩色は制約なしに新しい交差点に有効に拡張され、逆にそれを取り除くときも有効に制限される。全体の彩色可能性（$\ge 2$ 色を用いる有効な彩色の存在）は保たれる。

タイプIIでの不変性。 タイプIIの移動は、色 $a$ と $b$（等しい場合もある）の2本の糸が2回交差する2つの交差点を導入または削除する。両方の交差点を調べると：各交差点で存在する2本の糸は $a,b$ であり、3本目（各交差点での上の糸で、同じ2本の糸のどちらかが続いているもの）は規則によって $a+b+c\equiv0$ となる色に強制される；2つの交差点は糸が単に互いの上を通過することで関連しているので、元の2本の糸 $a,b$ の彩色は、新しい色や矛盾を導入することなく両方の新しい交差領域に一貫して拡張され、移動を取り除くことはその2つの制約——自動的に満たされていたもの——を削除するだけである。よって彩色可能性は両方向で保たれる。

タイプIIIでの不変性。 タイプIIIの移動は、色 $a,b,c$（とする）を持つ3本の糸の間で3つの交差点を並べ替えて糸を交差点をまたいで滑らせるが、大域的にどの色がどこに現れるかは変えない——同じ3本の彩色された弧の局所的な組合せ的配置を変えるだけである。3つの交差点それぞれでの彩色規則 $x+y+z\equiv0\pmod3$ は、そこで交わる（順序なしの）糸の三つ組の色にのみ依存し、タイプIIIはどの糸が交差点で交わるかを変えない（図式上の局所的な配置だけを変える）ので、移動前の有効な彩色は移動後の有効な彩色に制限され、逆も同様である。

結論。 三色彩色可能性（$\ge 2$ 色の使用を要求する有無の性質として）が3種類の移動すべてで変わらないので、それは図式だけでなく結び目の不変量である。標準的な三葉結び目の図式は、その3本の弧に彩色 $a=0,b=1,c=2$ を許す（3つの交差点すべてが $0+1+2=3\equiv0\pmod3$ を満たすことを確認できる）、$3\ge2$ 色を用いるので、三葉結び目は三色彩色可能である。標準的な自明な結び目の図式（結ばれていない単一のループ、交差なし、あるいは1本の弧に帰着できる任意の図式）は弧を1本しか持たないので、利用可能な色は1色のみであり「$\ge 2$ 色」の要件を満たさない——自明な結び目は三色彩色可能ではない。三色彩色可能性は不変量であり2つの図式が一致しないので、ライデマイスター移動のいかなる列も三葉結び目の図式を自明な結び目の図式に結びつけることはできず、よって三葉結び目は真に結ばれた円である。