定理 R(3, 3) = 6

**ステップ1(上界 $R(3,3) \le 6$)。** $K_6$ の任意の頂点 $v$ をとる。v に接続する $5$ 本の辺は赤または青に塗られている。鳩の巣原理($\lceil 5/2 \rceil = 3$)により、少なくとも $3$ 本の辺が同じ色を持つ——辺 $vu_1, vu_2, vu_3$ がすべて赤であるとする。

**ステップ2($\{u_1, u_2, u_3\}$ での場合分け)。** 三角形 $\{u_1, u_2, u_3\}$ の内部の $3$ 本の辺を見る。もしそのうち1本——例えば $u_1u_2$——が赤なら、$\{v, u_1, u_2\}$ が赤の $K_3$ をなす。そうでなければ $3$ 本の辺 $u_1u_2, u_2u_3, u_3u_1$ はすべて青であり、$\{u_1, u_2, u_3\}$ 自身が青の $K_3$ をなす。

**ステップ3(下界 $R(3,3) > 5$)。** $K_5$ の頂点を $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ でラベル付けする。$i - j \equiv \pm 1 \pmod 5$ のとき辺 $ij$ を赤、$i - j \equiv \pm 2 \pmod 5$ のとき青に塗る。どちらの色クラスも三角形を含まない $5$ 長サイクルをなし、$R(3,3) > 5$、ゆえに $R(3,3) = 6$ が示された。