ヘリンガー・テプリッツの定理

閉グラフ定理(ベールのカテゴリ定理の標準的な帰結)を用いる。ヒルベルト空間全体で定義された線形作用素が有界であることは、そのグラフ $\{(x,Tx):x\in H\}$ が $H\times H$ において閉であること、すなわち $x_n\to x$ かつ $Tx_n\to y$ ならば常に $y=Tx$ が成り立つこととちょうど同値である。

$x_n\to x$ かつ $Tx_n\to y$ とする。$y=Tx$ を示さねばならない。任意の固定された $z\in H$ に対し、対称性より各 $n$ について $\langle Tx_n,z\rangle=\langle x_n,Tz\rangle$ が成り立つ。

両辺で $n\to\infty$ とすると、左辺は $Tx_n\to y$ かつ内積が連続であることから $\langle Tx_n,z\rangle\to\langle y,z\rangle$ となり、右辺は $x_n\to x$ から $\langle x_n,Tz\rangle\to\langle x,Tz\rangle$ となる。したがって $\langle y,z\rangle=\langle x,Tz\rangle=\langle Tx,z\rangle$(右辺で再度対称性を用いる)。

$\langle y,z\rangle=\langle Tx,z\rangle$ がすべての $z\in H$ に対して成り立つので、すべての $z$ に対して $\langle y-Tx,z\rangle=0$ となる。$z=y-Tx$ とおくと $\|y-Tx\|^2=0$ となり、$y=Tx$ を得る。ゆえに $T$ のグラフは閉であり、閉グラフ定理により $T$ は有界であると結論される。