作用素論

これは、コンパクト自己随伴作用素がどれほど複雑に見えても、適切な正規直交基底のもとでは実は対角行列であることを意味する――線形代数における対称行列が正規直交固有基底によって常に対角化可能であるのとまったく同じである。これにより、作用素の関数を定義したり、$Tx=y$ を解いたり、信号や画像をその支配的な固有方向によって分解したりすることが可能になる(主成分分析は姿を変えたこの定理である)。

まず、自己随伴作用素のすべての固有値は実数である。$x\ne0$ で $Tx=\lambda x$ ならば、$\lambda\|x\|^2=\langle Tx,x\rangle=\langle x,Tx\rangle=\bar\lambda\|x\|^2$(中間のステップで自己随伴性を用いる)なので $\lambda=\bar\lambda$ である。同様に、異なる固有値 $\lambda\ne\mu$ に対する固有ベクトルは直交する。$\lambda\langle x,y\rangle=\langle Tx,y\rangle=\langle x,Ty\rangle=\mu\langle x,y\rangle$ より $\langle x,y\rangle=0$ が強制される。

次に、コンパクト性により絶対値最大の固有値が実際に存在することが保証される。自己随伴な $T$ に対して作用素ノルムは $\|T\|=\sup_{\|x\|=1}|\langle Tx,x\rangle|$ を満たし、コンパクト性により $|\langle Tx,x\rangle|$ の最大化列から収束部分列を抽出でき、$|\lambda_1|=\|T\|$ を満たす $Te_1=\lambda_1 e_1$ となる単位ベクトル $e_1$ が得られる。

次に帰納法を用いる。固有値 $\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1}$ を持つ正規直交固有ベクトル $e_1,\dots,e_{n-1}$ が見つかったとして、$T$ を閉部分空間 $H_n=\{e_1,\dots,e_{n-1}\}^\perp$ に制限する。$T$ は $H_n$ をそれ自身へ写し(自己随伴性により不変部分空間の直交補空間も不変となる)、そこでもコンパクトかつ自己随伴のままであるから、同じ最大固有値の議論により次の固有ベクトル $e_n\in H_n$($|\lambda_n|\le|\lambda_{n-1}|$)が得られる。

最後に、この過程が終わらない場合、$\lambda_n\to0$ となる。そうでなければ無限個の $|\lambda_n|$ がある $\delta>0$ を超え続けることになるが、そのとき $\{Te_n\}=\{\lambda_ne_n\}$ は収束部分列を持たない(正規直交性により $n\ne m$ のとき $\|\lambda_ne_n-\lambda_me_n\|^2\ge\delta^2\cdot2$ となるため)ため、$T$ のコンパクト性に矛盾する。その後、$\{e_n\}$ の閉包と $\ker T$ を合わせたものが $H$ を尽くすこと、および $T$ が $\ker T$ 上で $0$ として作用することを確認すれば、すべての $x\in H$ に対する固有展開 $Tx=\sum_n\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_n$ が得られる。

これは、量子力学において非有界作用素が避けられない理由を説明する定理である。位置、運動量、ハミルトニアンのような物理的に重要な対称作用素は、実際には $H$ のすべてのベクトル上で定義することはできず(稠密な定義域上でのみ定義される)、もしそうであれば、この定理によって有界であることが強制されてしまう――しかし明らかにそれらは有界ではない。

閉グラフ定理(ベールのカテゴリ定理の標準的な帰結)を用いる。ヒルベルト空間全体で定義された線形作用素が有界であることは、そのグラフ $\{(x,Tx):x\in H\}$ が $H\times H$ において閉であること、すなわち $x_n\to x$ かつ $Tx_n\to y$ ならば常に $y=Tx$ が成り立つこととちょうど同値である。

$x_n\to x$ かつ $Tx_n\to y$ とする。$y=Tx$ を示さねばならない。任意の固定された $z\in H$ に対し、対称性より各 $n$ について $\langle Tx_n,z\rangle=\langle x_n,Tz\rangle$ が成り立つ。

両辺で $n\to\infty$ とすると、左辺は $Tx_n\to y$ かつ内積が連続であることから $\langle Tx_n,z\rangle\to\langle y,z\rangle$ となり、右辺は $x_n\to x$ から $\langle x_n,Tz\rangle\to\langle x,Tz\rangle$ となる。したがって $\langle y,z\rangle=\langle x,Tz\rangle=\langle Tx,z\rangle$(右辺で再度対称性を用いる)。

$\langle y,z\rangle=\langle Tx,z\rangle$ がすべての $z\in H$ に対して成り立つので、すべての $z$ に対して $\langle y-Tx,z\rangle=0$ となる。$z=y-Tx$ とおくと $\|y-Tx\|^2=0$ となり、$y=Tx$ を得る。ゆえに $T$ のグラフは閉であり、閉グラフ定理により $T$ は有界であると結論される。