コンパクト自己随伴作用素のスペクトル定理

まず、自己随伴作用素のすべての固有値は実数である。$x\ne0$ で $Tx=\lambda x$ ならば、$\lambda\|x\|^2=\langle Tx,x\rangle=\langle x,Tx\rangle=\bar\lambda\|x\|^2$(中間のステップで自己随伴性を用いる)なので $\lambda=\bar\lambda$ である。同様に、異なる固有値 $\lambda\ne\mu$ に対する固有ベクトルは直交する。$\lambda\langle x,y\rangle=\langle Tx,y\rangle=\langle x,Ty\rangle=\mu\langle x,y\rangle$ より $\langle x,y\rangle=0$ が強制される。

次に、コンパクト性により絶対値最大の固有値が実際に存在することが保証される。自己随伴な $T$ に対して作用素ノルムは $\|T\|=\sup_{\|x\|=1}|\langle Tx,x\rangle|$ を満たし、コンパクト性により $|\langle Tx,x\rangle|$ の最大化列から収束部分列を抽出でき、$|\lambda_1|=\|T\|$ を満たす $Te_1=\lambda_1 e_1$ となる単位ベクトル $e_1$ が得られる。

次に帰納法を用いる。固有値 $\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1}$ を持つ正規直交固有ベクトル $e_1,\dots,e_{n-1}$ が見つかったとして、$T$ を閉部分空間 $H_n=\{e_1,\dots,e_{n-1}\}^\perp$ に制限する。$T$ は $H_n$ をそれ自身へ写し(自己随伴性により不変部分空間の直交補空間も不変となる)、そこでもコンパクトかつ自己随伴のままであるから、同じ最大固有値の議論により次の固有ベクトル $e_n\in H_n$($|\lambda_n|\le|\lambda_{n-1}|$)が得られる。

最後に、この過程が終わらない場合、$\lambda_n\to0$ となる。そうでなければ無限個の $|\lambda_n|$ がある $\delta>0$ を超え続けることになるが、そのとき $\{Te_n\}=\{\lambda_ne_n\}$ は収束部分列を持たない(正規直交性により $n\ne m$ のとき $\|\lambda_ne_n-\lambda_me_n\|^2\ge\delta^2\cdot2$ となるため)ため、$T$ のコンパクト性に矛盾する。その後、$\{e_n\}$ の閉包と $\ker T$ を合わせたものが $H$ を尽くすこと、および $T$ が $\ker T$ 上で $0$ として作用することを確認すれば、すべての $x\in H$ に対する固有展開 $Tx=\sum_n\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_n$ が得られる。