マズールの捩れ分類定理

マズールによる1977年の証明は、$E$ 上に位数がちょうど $N$ の有理点が存在することを、$P$ が位数 $N$ を持つ組 $(E, P)$ を分類するモジュラー曲線 $X_1(N)$ 上に非カスプ有理点が存在することへと翻訳する。この戦略は、関連するモジュラー曲線 $X_0(N)$ のヤコビ多様体 $J_0(N)$ と、それに作用するアイゼンシュタインイデアル $\mathcal{I}$(素数 $\ell \nmid N$ に対する $T_\ell - \ell - 1$ で生成されるヘッケ代数のイデアル)を研究する。$J_0(N)$ のアイゼンシュタイン商とその補助素数を法とした還元を解析することで、マズールは許容リストの外の $N$ については $X_1(N)(\mathbb{Q})$ がカスプのみからなることを示し、したがって $\mathbb{Q}$ 上のいかなる楕円曲線もその正確な位数の有理点を持ちえないことを証明した。明示的な構成(例えば曲線 $y^2=x^3+ax$ や $y^2=x^3+b$ を用いる)により、許容される $15$ 個の群それぞれを実現する例が示される。