モジュラリティ定理(谷山・志村・ヴェイユ)

ワイルズは1994〜95年に $\mathbb{Q}$ 上の半安定な楕円曲線についてモジュラリティを証明した(最後のステップである、変形環とヘッケ代数の間の同型に関する数値的判定条件——「$R=T$ 定理」——はリチャード・テイラーとの共同研究で確立された)。この戦略では、$E$ の $\ell$-進テイト加群上のガロア表現と、候補となるモジュラー形式に付随する対応する表現が、同じ変形空間に属することを示す。変形環 $R$ とモジュラー形式に作用するヘッケ代数 $T$ が一致することを証明すれば、許容されるすべてのガロア表現——特に $E$ のもの——がモジュラー形式に由来することが強制される。半安定な曲線さえあればフェルマー方程式の反例を排除するのに十分であるため(解 $a^n+b^n=c^n$ があれば半安定なフライ曲線 $y^2=x(x-a^n)(x+b^n)$ が生じ、これはケネス・リベットが1990年の $\varepsilon$-予想の証明によってモジュラーになりえないことを示していた)、これによりフェルマーの最終定理が証明された。半安定性の制約はその後完全に取り除かれ、モジュラリティは2001年にクリストフ・ブルイユ、ブライアン・コンラッド、フレッド・ダイアモンド、リチャード・テイラーによって $\mathbb{Q}$ 上のすべての楕円曲線へと拡張された。