ナッシュ均衡の存在定理

内容

有限人数のプレイヤーからなり、各プレイヤーが有限個の純戦略を持つ有限戦略形ゲームには、混合戦略における少なくとも1つのナッシュ均衡が存在する：各プレイヤーにつき1つの（ランダム化されうる）戦略の組であって、他のプレイヤーの戦略を所与としたとき、どのプレイヤーも単独で戦略を変えることで期待利得を改善できないもの。

なぜ正しいのか?

各プレイヤーが、他の全員の現在の行動に対する最適反応となるよう、自分の（ランダム化された）戦略を連続的に調整する様子を考える。これは戦略プロファイルの空間から自分自身への写像を定める。戦略空間（各プレイヤーにつき1つの単体の直積）はコンパクトかつ凸であり、最適反応写像は良い性質（凸値、上半連続）を持つため、この写像は不動点を持たざるを得ない——それはすでに全員が他者への最適反応をしており、誰も動きたがらないプロファイルである。

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