ブラウワーの不動点定理

背理法で、$f$ が不動点を持たないと仮定する。各 $x \in D^n$ に対して $f(x)$ から $x$ を通る半直線を引き、この半直線が境界球面 $S^{n-1}$ と交わる点を $r(x)$ とする。この $r$ は連続写像 $D^n \to S^{n-1}$ であり、境界上では恒等写像になる——すなわち球体からその境界球面へのレトラクション（retraction）である。代数トポロジー（境界球面が球体のレトラクトではないという事実。ホモロジーによって、あるいは $n=1$ の場合は中間値の定理により直接示せる）により、そのようなレトラクションは存在しないことが分かり、矛盾が得られる。