二次元における大域正則性（ラディジェンスカヤ）

渦度（2次元ではスカラー）を $\omega=\partial_x u_2-\partial_y u_1$ と書き、運動方程式を $\partial_t\omega+u\cdot\nabla\omega$ に代入する。$u$ が非圧縮性かつ二次元であるため、$(u\cdot\nabla)u$ から生じる $\omega$ を引き伸ばすことになるすべての項が直接計算で消え、ソース項のない輸送拡散方程式 $\omega_t+u\cdot\nabla\omega=\nu\Delta\omega$ が残る。

ソースのない輸送拡散方程式は最大原理に従う：流体粒子の軌道 $\dot X(t)=u(X(t),t)$ に沿って $\frac{d}{dt}\omega(X(t),t)=\nu\Delta\omega(X(t),t)$ となり、拡散は最大値を増やしたり最小値を減らしたりできない。したがってすべての $t\ge0$ で $\|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty}\le\|\omega_0\|_{L^\infty}$ となり、渦度は決して爆発しない。

渦度が時間に一様に有界であれば、流を関数（$\omega$ から $u$ を復元）に楕円型正則性を適用することで、$u$ のすべての空間微分が $\|\omega\|_{L^\infty}$ によって抑えられ、$u$ は最初に属していたすべてのソボレフ空間に留まる。

この論議を繰り返すことで — 有界な渦度が速度勾配を有界にし、それが方程式自体を通じて高次微分を制御する — すべての $t>0$ で解が滑らかであり続け、有限時間での爆発は起こりえないことが示される。これはまさに、渦の引き伸ばし項 $(\omega\cdot\nabla)u$ が存在する三次元では未知である事柄である。