ナビエ–ストークス方程式

非線形項のため方程式を厳密に解くことは難しいが、粘性は常に運動エネルギーを減らし続ける。この単一の定量的事実だけで、極限が一意か滑らかかは分からなくても、近似解を構築して極限をとるのに十分である。

ガレルキン射影によって方程式を近似する：ストークス演算子の固有関数を基底として選び、方程式を最初の $n$ 個が張る空間へ射影し、得られる有限次元常微分方程式系を解いて近似解 $u_n$ を得る。標準的な常微分方程式の理論により、短い時間区間での解の存在が得られる。

ガレルキン方程式に $u_n$ 自身を作用させる。非線形項と圧力項は消える（非圧縮性の制約を使えば $u_n$ に直交するため）ため、エネルギー等式 $\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|u_n\|_{L^2}^{2}+\nu\|\nabla u_n\|_{L^2}^{2}=0$ が得られる。時間積分すると、$u_n$ は $n$ に依らず $L^{\infty}(L^2)\cap L^2(H^1)$ で一様に有界であり、特に短時間解は全時間に延長できる。

この一様的な有界性により、$u_n$ の部分列で $L^{\infty}(L^2)$ で弱・収束し、$L^2(H^1)$ で弱収束するものを取り出せ、ある極限 $u$ に収束する。オビゥーン–リオンのコンパクト性補題により、これは有界な時空領域での $L^2$ 強収束に強化され、二次非線形項 $(u_n\cdot\nabla)u_n\to(u\cdot\nabla)u$ への極限移行に必要なものである。

ガレルキン方程式の弱形式で極限を取ることで、$u$ が超関数の意味でナビエ–ストークス方程式を満たすことが示され、極限下でのノルムの弱下半連続性によりエネルギー不等式が保たれる。この $u$ がルレーの大域弱解であり、それが一意かつ滑らかかどうかが未解決のミレニアム問題の本質である。

3次元の渦度は $\omega_t+u\cdot\nabla\omega=(\omega\cdot\nabla)u+\nu\Delta\omega$ に従い、項 $(\omega\cdot\nabla)u$ は引き伸ばしによって渦度を増幅させうる。二次元では渦度は運動平面に垂直なスカラー量であり、この引き伸ばし項は恒等的に消え、輸送と拡散だけが残る — 無制限に増幅させるものは何もない。

渦度（2次元ではスカラー）を $\omega=\partial_x u_2-\partial_y u_1$ と書き、運動方程式を $\partial_t\omega+u\cdot\nabla\omega$ に代入する。$u$ が非圧縮性かつ二次元であるため、$(u\cdot\nabla)u$ から生じる $\omega$ を引き伸ばすことになるすべての項が直接計算で消え、ソース項のない輸送拡散方程式 $\omega_t+u\cdot\nabla\omega=\nu\Delta\omega$ が残る。

ソースのない輸送拡散方程式は最大原理に従う：流体粒子の軌道 $\dot X(t)=u(X(t),t)$ に沿って $\frac{d}{dt}\omega(X(t),t)=\nu\Delta\omega(X(t),t)$ となり、拡散は最大値を増やしたり最小値を減らしたりできない。したがってすべての $t\ge0$ で $\|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty}\le\|\omega_0\|_{L^\infty}$ となり、渦度は決して爆発しない。

渦度が時間に一様に有界であれば、流を関数（$\omega$ から $u$ を復元）に楕円型正則性を適用することで、$u$ のすべての空間微分が $\|\omega\|_{L^\infty}$ によって抑えられ、$u$ は最初に属していたすべてのソボレフ空間に留まる。

この論議を繰り返すことで — 有界な渦度が速度勾配を有界にし、それが方程式自体を通じて高次微分を制御する — すべての $t>0$ で解が滑らかであり続け、有限時間での爆発は起こりえないことが示される。これはまさに、渦の引き伸ばし項 $(\omega\cdot\nabla)u$ が存在する三次元では未知である事柄である。