ルレーの大域弱解（1934）

ガレルキン射影によって方程式を近似する：ストークス演算子の固有関数を基底として選び、方程式を最初の $n$ 個が張る空間へ射影し、得られる有限次元常微分方程式系を解いて近似解 $u_n$ を得る。標準的な常微分方程式の理論により、短い時間区間での解の存在が得られる。

ガレルキン方程式に $u_n$ 自身を作用させる。非線形項と圧力項は消える（非圧縮性の制約を使えば $u_n$ に直交するため）ため、エネルギー等式 $\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|u_n\|_{L^2}^{2}+\nu\|\nabla u_n\|_{L^2}^{2}=0$ が得られる。時間積分すると、$u_n$ は $n$ に依らず $L^{\infty}(L^2)\cap L^2(H^1)$ で一様に有界であり、特に短時間解は全時間に延長できる。

この一様的な有界性により、$u_n$ の部分列で $L^{\infty}(L^2)$ で弱・収束し、$L^2(H^1)$ で弱収束するものを取り出せ、ある極限 $u$ に収束する。オビゥーン–リオンのコンパクト性補題により、これは有界な時空領域での $L^2$ 強収束に強化され、二次非線形項 $(u_n\cdot\nabla)u_n\to(u\cdot\nabla)u$ への極限移行に必要なものである。

ガレルキン方程式の弱形式で極限を取ることで、$u$ が超関数の意味でナビエ–ストークス方程式を満たすことが示され、極限下でのノルムの弱下半連続性によりエネルギー不等式が保たれる。この $u$ がルレーの大域弱解であり、それが一意かつ滑らかかどうかが未解決のミレニアム問題の本質である。