a≠0のとき解は一意

存在性。 $ax+b=0$ の両辺に $-b$ を加えても均衡は崩れず、$ax=-b$ が得られる。$a\neq0$ なので両辺を $a$ で割ることが許され、これも均衡を保ったまま $x=-\dfrac{b}{a}$ を与える。この値を代入すると $a\left(-\dfrac{b}{a}\right)+b=-b+b=0$ となり、確かに方程式を満たす——解は存在する。

一意性。 $x_1$、$x_2$ がともに解であるとし、$ax_1+b=0$ と $ax_2+b=0$ が成り立つとする。2式を引くと $b$ が消え、$a x_1 - a x_2 = 0$、すなわち $a(x_1-x_2)=0$ となる。$a\neq0$ なので、2数の積が0になるのはもう一方の因数が0のときに限られ、$x_1-x_2=0$、つまり $x_1=x_2$ が従う。したがって異なる2つの数が同時に解になることはなく、上で求めた解が唯一のものである。