一次方程式

これが方程式を「一次」と呼べる理由である。a が0でない限り、未知数は1つ、答えも常にただ1つで、2つになることも0個になることもない。

存在性。 $ax+b=0$ の両辺に $-b$ を加えても均衡は崩れず、$ax=-b$ が得られる。$a\neq0$ なので両辺を $a$ で割ることが許され、これも均衡を保ったまま $x=-\dfrac{b}{a}$ を与える。この値を代入すると $a\left(-\dfrac{b}{a}\right)+b=-b+b=0$ となり、確かに方程式を満たす——解は存在する。

一意性。 $x_1$、$x_2$ がともに解であるとし、$ax_1+b=0$ と $ax_2+b=0$ が成り立つとする。2式を引くと $b$ が消え、$a x_1 - a x_2 = 0$、すなわち $a(x_1-x_2)=0$ となる。$a\neq0$ なので、2数の積が0になるのはもう一方の因数が0のときに限られ、$x_1-x_2=0$、つまり $x_1=x_2$ が従う。したがって異なる2つの数が同時に解になることはなく、上で求めた解が唯一のものである。

これは「一次方程式」という呼び名が、実は x の係数が0でないことに依存していることを示す——その条件を外すと、「ただ1つの答え」という概念は、すべての答えか、答えが全くないかのどちらかに崩れてしまう。

$a=0$ を $ax+b=0$ に直接代入すると、項 $ax$ はすべての実数 $x$ に対して $0\cdot x=0$ となる。どんな数に0を掛けても0だからである。したがって方程式は文字通り $b=0$ となり、これはもはや $x$ に一切言及しない、$b$ だけについての命題になる。

ここで固定された数 $b$ について、可能性はちょうど2つしかない。$b=0$ ならば、残った命題「$0=0$」はどの $x$ を代入しても真であり、したがってすべての実数 $x$ が元の方程式を満たし、無数の解を持つ。逆に $b\neq0$ ならば、残った命題「$b=0$」は単に偽であり、どんな $x$ の値もその誤った数値命題を真にすることはできないので、どんな $x$ を試しても方程式は解を全く持たない。