基本解がすべての解を生成する

まず $x_n+y_n\sqrt d=(x_1+y_1\sqrt d)^n$ で定義される $(x_n,y_n)$ がすべての $n$ で確かに解であることを確認する:共役を取ると $x_n-y_n\sqrt d=(x_1-y_1\sqrt d)^n$ なので $x_n^2-dy_n^2=(x_n+y_n\sqrt d)(x_n-y_n\sqrt d)=\left[(x_1+y_1\sqrt d)(x_1-y_1\sqrt d)\right]^n=(x_1^2-dy_1^2)^n=1^n=1$ となる。

次に、この形でない任意の正整数解 $(x,y)$ があると仮定する;$n\to\infty$ で $x_n\to\infty$ なので、$x_n+y_n\sqrt d \le x+y\sqrt d < x_{n+1}+y_{n+1}\sqrt d = (x_n+y_n\sqrt d)(x_1+y_1\sqrt d)$ を満たす一意な $n$ が存在する。

両辺を $(x_n+y_n\sqrt d)$ で割る、すなわちその逆元 $(x_n-y_n\sqrt d)$($x_n^2-dy_n^2=1$ より有効)を掛ける:$x'+y'\sqrt d = (x+y\sqrt d)(x_n-y_n\sqrt d)$ とおく。すると $1\le x'+y'\sqrt d < x_1+y_1\sqrt d$ であり、$x'^2-dy'^2=(x^2-dy^2)(x_n^2-dy_n^2)=1\cdot 1=1$ となるので $(x',y')$ もペル方程式の解である。

$x'+y'\sqrt d\ge 1$ と $x'^2-dy'^2=1$ を用いた簡単な計算により $x'\ge 1$、$y'\ge 0$ が分かる($x'+y'\sqrt d\ge 1$ だが $y'<0$ の解は $x'>x_1$ を強制し、$x'+y'\sqrt d<x_1+y_1\sqrt d$ とノルムの式に矛盾する)。もし $y'>0$ なら、$(x',y')$ は $x'+y'\sqrt d<x_1+y_1\sqrt d$ を満たす正の解となり、基本解の最小性に矛盾する。よって $y'=0$、したがって $x'=1$ となり、$x+y\sqrt d=x_n+y_n\sqrt d$、すなわち結局 $(x,y)=(x_n,y_n)$ となる——これは仮定に矛盾する。

したがってすべての正の解はちょうどある $(x_n,y_n)$ であり、基本解が解全体の集合を生成することが証明された。