ペル方程式

双曲線 $x^2-dy^2=1$ が実数点を持つことは確かだとしても、それが格子点を通ることは全く自明ではない——この定理は、有理近似に関する巧妙な鳩の巣論法により、平方数でないすべての $d$ に対して常にそうなることを保証する。

ディリクレの近似定理により、任意の整数 $Q>0$ に対し $1\le q\le Q$ かつ $\left|\sqrt d - \frac{p}{q}\right|<\frac{1}{qQ}$ を満たす整数 $p,q$ が存在する。$Q\to\infty$ とすると $\left|\sqrt d-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^2}$ を満たす組 $(p,q)$ が無限に得られる。

そのような各組に対し $|p-q\sqrt d|<\frac{1}{q}$ なので $|p^2-dq^2|=|p-q\sqrt d|\cdot|p+q\sqrt d|<\frac{1}{q}\left(2q\sqrt d+\frac{1}{q}\right)<2\sqrt d+1$ となる。よって $p^2-dq^2$ は区間 $(-2\sqrt d-1,\,2\sqrt d+1)$ 内の有限個の整数値しか取らないが、組 $(p,q)$ は無限に存在する。

鳩の巣原理により、その有限範囲内のある固定された非零整数 $k$ が、無限個の組 $(p,q)$ に対し $p^2-dq^2=k$ を満たす。これら無限個の組の中で、再び鳩の巣原理により、無限個が同じ剰余類 $p\equiv p_0,\ q\equiv q_0\pmod{|k|}$ を持つ。

そのような相異なる二組 $(p_1,q_1)\neq(p_2,q_2)$ で $p_1^2-dq_1^2=p_2^2-dq_2^2=k$ かつ $|k|$ を法として剰余が一致するものを取る。$x+y\sqrt d = \frac{(p_1+q_1\sqrt d)(p_2-q_2\sqrt d)}{k}$ とおく;展開すると $x=\frac{p_1p_2-dq_1q_2}{k}$ と $y=\frac{p_1q_2-p_2q_1}{k}$ は、$|k|$ を法とする剰余が一致することにより正真正銘の整数であることが分かり、ノルム $N(a+b\sqrt d)=a^2-db^2$ の乗法性より $x^2-dy^2=\frac{k\cdot k}{k^2}=1$ が得られる。$(p_1,q_1)\neq(p_2,q_2)$ だが極限で同じ比を与えるので $y\neq 0$ が確認でき、$(x,y)$ を $(|x|,|y|)$ に置き換えても(平方しか現れないので依然解である)正の整数解が得られる。

これは、無限に多い解が謎めいた散在集合ではなく、最小の解を繰り返し「掛け合わせる」ことで生成される完全に予測可能な等比数列的な列であることを述べている——無限の探索を一つの数を見つけることに帰着させる。

まず $x_n+y_n\sqrt d=(x_1+y_1\sqrt d)^n$ で定義される $(x_n,y_n)$ がすべての $n$ で確かに解であることを確認する:共役を取ると $x_n-y_n\sqrt d=(x_1-y_1\sqrt d)^n$ なので $x_n^2-dy_n^2=(x_n+y_n\sqrt d)(x_n-y_n\sqrt d)=\left[(x_1+y_1\sqrt d)(x_1-y_1\sqrt d)\right]^n=(x_1^2-dy_1^2)^n=1^n=1$ となる。

次に、この形でない任意の正整数解 $(x,y)$ があると仮定する;$n\to\infty$ で $x_n\to\infty$ なので、$x_n+y_n\sqrt d \le x+y\sqrt d < x_{n+1}+y_{n+1}\sqrt d = (x_n+y_n\sqrt d)(x_1+y_1\sqrt d)$ を満たす一意な $n$ が存在する。

両辺を $(x_n+y_n\sqrt d)$ で割る、すなわちその逆元 $(x_n-y_n\sqrt d)$($x_n^2-dy_n^2=1$ より有効)を掛ける:$x'+y'\sqrt d = (x+y\sqrt d)(x_n-y_n\sqrt d)$ とおく。すると $1\le x'+y'\sqrt d < x_1+y_1\sqrt d$ であり、$x'^2-dy'^2=(x^2-dy^2)(x_n^2-dy_n^2)=1\cdot 1=1$ となるので $(x',y')$ もペル方程式の解である。

$x'+y'\sqrt d\ge 1$ と $x'^2-dy'^2=1$ を用いた簡単な計算により $x'\ge 1$、$y'\ge 0$ が分かる($x'+y'\sqrt d\ge 1$ だが $y'<0$ の解は $x'>x_1$ を強制し、$x'+y'\sqrt d<x_1+y_1\sqrt d$ とノルムの式に矛盾する)。もし $y'>0$ なら、$(x',y')$ は $x'+y'\sqrt d<x_1+y_1\sqrt d$ を満たす正の解となり、基本解の最小性に矛盾する。よって $y'=0$、したがって $x'=1$ となり、$x+y\sqrt d=x_n+y_n\sqrt d$、すなわち結局 $(x,y)=(x_n,y_n)$ となる——これは仮定に矛盾する。

したがってすべての正の解はちょうどある $(x_n,y_n)$ であり、基本解が解全体の集合を生成することが証明された。