線形化（リアプノフの間接法）

$A$ のすべての固有値の実部が負である（$A$ はフルウィッツ行列）ため、行列方程式 $A^{T}P+PA=-I$ は一意の対称正値行列解 $P$ を持ち、収束する積分 $P=\int_0^{\infty}e^{A^{T}t}e^{At}\,dt$ で明示的に与えられる。

すれ $\xi=x-x^{*}$ に対して候補リアプノフ関数 $V(\xi)=\xi^{T}P\xi\ge0$ を定義する。非線形システムを $\dot\xi=A\xi+g(\xi)$（$\xi\to0$ で $g(\xi)=o(\|\xi\|)$、テーラー剰余）と書き、非線形軌道に沿った $V$ の時間微分を計算する。

$\dot\xi=A\xi+g(\xi)$ を用いると: $\dot V=\dot\xi^{T}P\xi+\xi^{T}P\dot\xi=\xi^{T}(A^{T}P+PA)\xi+2\xi^{T}Pg(\xi)=-\|\xi\|^{2}+2\xi^{T}Pg(\xi)$。$g(\xi)=o(\|\xi\|)$ なので、$2\xi^{T}Pg(\xi)\le\frac{1}{2}\|\xi\|^{2}$ となる $x^{*}$ の近傍が存在し、そこで $\dot V\le-\frac{1}{2}\|\xi\|^{2}<0$（$\xi\ne0$）となる。

$V$ が正値で $\dot V$ が $x^{*}$ 近傍で負値であるため、リアプノフの直接法（次に証明）によりその近傍から始まる軌道は $x^{*}$ に収束する：渐近安定である。不安定の場合、$A$ が正の実部を持つ固有値を持てば、対称的な構成（チェタエフの不安定性定理）により $V$ が増加する方向が存在し、どれほど近くから始めても軌道が $x^{*}$ から押し出されることが示される。