力学系の安定性

$x^{*}$ の近傍では非線形項は線形項よりはるかに小さいので、線形部分がすべての方向で指数的に収縮すれば、その収縮が優勢であり、真の軌道も $x^{*}$ に引き戻される。

$A$ のすべての固有値の実部が負である（$A$ はフルウィッツ行列）ため、行列方程式 $A^{T}P+PA=-I$ は一意の対称正値行列解 $P$ を持ち、収束する積分 $P=\int_0^{\infty}e^{A^{T}t}e^{At}\,dt$ で明示的に与えられる。

すれ $\xi=x-x^{*}$ に対して候補リアプノフ関数 $V(\xi)=\xi^{T}P\xi\ge0$ を定義する。非線形システムを $\dot\xi=A\xi+g(\xi)$（$\xi\to0$ で $g(\xi)=o(\|\xi\|)$、テーラー剰余）と書き、非線形軌道に沿った $V$ の時間微分を計算する。

$\dot\xi=A\xi+g(\xi)$ を用いると: $\dot V=\dot\xi^{T}P\xi+\xi^{T}P\dot\xi=\xi^{T}(A^{T}P+PA)\xi+2\xi^{T}Pg(\xi)=-\|\xi\|^{2}+2\xi^{T}Pg(\xi)$。$g(\xi)=o(\|\xi\|)$ なので、$2\xi^{T}Pg(\xi)\le\frac{1}{2}\|\xi\|^{2}$ となる $x^{*}$ の近傍が存在し、そこで $\dot V\le-\frac{1}{2}\|\xi\|^{2}<0$（$\xi\ne0$）となる。

$V$ が正値で $\dot V$ が $x^{*}$ 近傍で負値であるため、リアプノフの直接法（次に証明）によりその近傍から始まる軌道は $x^{*}$ に収束する：渐近安定である。不安定の場合、$A$ が正の実部を持つ固有値を持てば、対称的な構成（チェタエフの不安定性定理）により $V$ が増加する方向が存在し、どれほど近くから始めても軌道が $x^{*}$ から押し出されることが示される。

$V$ を一般化されたエネルギーと考えよう：エネルギーが軌道に沿って決して増加せず、$x^{*}$ でのみゼロならば、システムは $x^{*}$ から離れてさすらうことはできず、エネルギーが厳密に減少すれば最終的にはゼロとなる唐一の点に落ち着かなければならない。

$\{\|x-x^{*}\|\le\varepsilon\}$ が $V$ の定義域に含まれ $x^{*}$ 以外で正となるように十分小さな $\varepsilon>0$ を固定し、その境界球面を $S_\varepsilon=\{\|x-x^{*}\|=\varepsilon\}$ とする。$V$ はコンパクト集合 $S_\varepsilon$ 上で連続かつ厳密に正であるため、最小値 $m=\min_{S_\varepsilon}V>0$ をとる。

$V$ の連続性と $V(x^{*})=0$ により、$\|x(0)-x^{*}\|<\delta$ が $V(x(0))<m$ を含意するような $\delta\in(0,\varepsilon)$ を選ぶ。

軌道に沿って $\dot V\le0$ であるため、解が存在するすべての $t\ge0$ で $V(x(t))\le V(x(0))<m$ となる。$S_\varepsilon$ のすべての点で $V\ge m$ なので、軌道は決して $S_\varepsilon$ に到達できず、$t\mapsto x(t)$ の連続性により、すべての $t\ge0$ で半径 $\varepsilon$ の球の内部に留まる。これはまさにリアプノフ安定性の定義である。

さらに近傍の $x\ne x^{*}$ で $\dot V(x)<0$ が厳密に成り立てば、$V(x(t))$ は厳密に減少し、$0$ で下に有界なので、ある極限 $c\ge0$ に収束する。もし $c>0$ ならば、軌道は $V\ge c>0$ となるコンパクトな環状領域に留まり、そこで $\dot V$ は厳密に負の最大値をとり、有限時間で $V$ が $c$ を下回ることを強いる — 矛盾である。したがって $c=0$ であり、$V$ が正値であることから $x(t)\to x^{*}$ となる：渐近安定である。