リアプノフの直接法（第二法）

$\{\|x-x^{*}\|\le\varepsilon\}$ が $V$ の定義域に含まれ $x^{*}$ 以外で正となるように十分小さな $\varepsilon>0$ を固定し、その境界球面を $S_\varepsilon=\{\|x-x^{*}\|=\varepsilon\}$ とする。$V$ はコンパクト集合 $S_\varepsilon$ 上で連続かつ厳密に正であるため、最小値 $m=\min_{S_\varepsilon}V>0$ をとる。

$V$ の連続性と $V(x^{*})=0$ により、$\|x(0)-x^{*}\|<\delta$ が $V(x(0))<m$ を含意するような $\delta\in(0,\varepsilon)$ を選ぶ。

軌道に沿って $\dot V\le0$ であるため、解が存在するすべての $t\ge0$ で $V(x(t))\le V(x(0))<m$ となる。$S_\varepsilon$ のすべての点で $V\ge m$ なので、軌道は決して $S_\varepsilon$ に到達できず、$t\mapsto x(t)$ の連続性により、すべての $t\ge0$ で半径 $\varepsilon$ の球の内部に留まる。これはまさにリアプノフ安定性の定義である。

さらに近傍の $x\ne x^{*}$ で $\dot V(x)<0$ が厳密に成り立てば、$V(x(t))$ は厳密に減少し、$0$ で下に有界なので、ある極限 $c\ge0$ に収束する。もし $c>0$ ならば、軌道は $V\ge c>0$ となるコンパクトな環状領域に留まり、そこで $\dot V$ は厳密に負の最大値をとり、有限時間で $V$ が $c$ を下回ることを強いる — 矛盾である。したがって $c=0$ であり、$V$ が正値であることから $x(t)\to x^{*}$ となる：渐近安定である。