ペンローズの特異点定理（1965年）

ステップ1（記号で表した捕捉面）。 $S$ を閉じた空間的な2次元面とし、$\theta$ を $S$ から直交して出発するヌル測地線束の展開、すなわち束の断面積が増加する割合の比率とする。どんな質量からも遠く離れた場所では、外向きの束は展開し（$\theta_{\text{out}}>0$）、内向きの束は収縮する（$\theta_{\text{in}}<0$）。代わりに $S$ 全体で $\theta_{\text{out}}<0, \qquad \theta_{\text{in}}<0$ であるとき、$S$ は捕捉されているという: 外向きの光でさえ内側へ引きずり込まれている。

ステップ2（ラヤチャウドゥリ方程式）。 展開の定義 $\theta=\nabla_a k^a$ を、接ベクトル $k^a$ を持つヌル合同族に沿って微分し、リーマンテンソルの定義を用いて微分を交換すると、厳密な運動学的恒等式 $$\frac{d\theta}{d\lambda} = -\frac{\theta^2}{2} - \sigma_{ab}\sigma^{ab} - R_{ab}k^ak^b$$ が得られる。ここで $\sigma_{ab}$ は合同族のシア・テンソルである。この方程式は純粋に幾何学的である — いかなる物理を仮定する前に、曲率の定義から従う、光線族がどう曲がらねばならないかについての言明である。

ステップ3（エネルギー条件がさらなる収束を強いる）。 物理的に妥当な物質はヌルエネルギー条件 $$R_{ab}k^ak^b \ge 0$$ を満たし、シア項 $\sigma_{ab}\sigma^{ab}\ge0$ は常に成り立つ（平方和だから）; ステップ2の恒等式の右辺からこの2つの非負項を落とすと不等式 $$\frac{d\theta}{d\lambda} \le -\frac{\theta^2}{2}$$ が得られる。

ステップ4（リッカチ不等式が有限時間での発散を強いる）。 捕捉面上では $\lambda=0$ で $\theta_0<0$ である。$\theta$ が負のままである限り、不等式を $\theta^2>0$ で割って整理すると $$\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{1}{\theta}\right) \ge \frac12 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\theta(\lambda)} \ge \frac{1}{\theta_0}+\frac{\lambda}{2}$$ となる。右辺は $\lambda$ の増加とともに無限に大きくなる一方、$1/\theta$（負）はこの下限を満たさねばならないため、$1/\theta$ は $0^-$ へと押し上げられる、すなわち有限のアフィンパラメータ $\lambda_*\le 2/|\theta_0|$ で $\theta\to-\infty$ となる: $S$ に直交するヌル合同族は有限のアフィン時間内に共役点（近傍の光線が交差する火面）を発展させなければならない。

ステップ5（局所的収束から大域的不完備性へ）。 因果構造理論の標準的な結果（ここでは用いるが再導出はしない）により、大域的双曲時空内のヌル測地線は共役点を過ぎてから因果的境界性（ある集合の未来の境界にとどまること）を保てないことが示される。非コンパクトなコーシー面と組み合わせると、これは測地線がループして戻ることや通常の形で終わることを排除し、$S$ に直交する少なくとも1本のヌル測地線が未来不完備であることを強いる: それは任意に大きなアフィンパラメータまで延長できない。定義により、この不完備性こそがペンローズの言う特異点であり、対称性の仮定なしに、捕捉面が形成されるときには必ず起こることをこの定理は示している。