光子球と最内安定円軌道

ステップ1（保存量と動径方程式）。 赤道面 $\theta=\pi/2$ に限られた任意の測地線（時間的 $\kappa=-c^2$、またはヌル $\kappa=0$）に沿って、計量が $t$ と $\phi$ に依存しないことから2つの保存量 $\tilde E = (1-r_s/r)c^2\dot t$ と $\tilde L = r^2\dot\phi$ が得られる（ドット $=d/d\tau$）。これらを規格化条件 $g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=\kappa$ に代入して整理すると、時間的運動については $$\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \tilde E^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)\left(c^2+\frac{\tilde L^2}{r^2}\right) \equiv \tilde E^2 - V^2_{\text{eff}}(r)$$

ステップ2（円軌道条件）。 展開すると $$V^2_{\text{eff}}(r) = c^2 - \frac{c^2 r_s}{r} + \frac{\tilde L^2}{r^2} - \frac{\tilde L^2 r_s}{r^3}$$ 円軌道は $r$ が一定、すなわち常に $dr/d\tau=0$ であり、これには $\tilde E^2=V^2_{\text{eff}}(r)$ と（$r$ がずれていかないように）$dV^2_{\text{eff}}/dr=0$ の両方が必要である: $$\frac{d}{dr}V^2_{\text{eff}} = \frac{c^2 r_s}{r^2} - \frac{2\tilde L^2}{r^3} + \frac{3\tilde L^2 r_s}{r^4} = 0$$

ステップ3（円軌道の角運動量を解く）。 $r^4$ を掛けて $\tilde L^2$ について解くと、半径 $r$ の円軌道を維持するのに必要な角運動量が得られる: $$\tilde L^2(r) = \frac{c^2 r_s r^2}{2r-3r_s}$$ これはすでに光子球についての情報を含んでいる: $r\to (3/2)r_s$ に上から近づくと分母 $2r-3r_s\to0^+$ となり $\tilde L^2\to+\infty$ となる — これほど近くで円軌道を維持できる有限の角運動量は存在せず、これはまさに以下で到達する質量ゼロ（光子）極限である。

ステップ4（限界安定性 — ISCO）。 $r$ を無限遠から減らしていくと、$\tilde L^2(r)$ はまず減少し、極小に達し、その後 $r=3r_s/2$ で発散する; 円軌道が安定なのはまさに $r$ をさらに縮めるのに $\tilde L^2$ の増加が必要な場所である（すなわち $d\tilde L^2/dr$ の符号が安定性を決める）。ステップ3の結果を微分すると、$$\frac{d\tilde L^2}{dr} = \frac{2c^2 r_s\,r(r-3r_s)}{(2r-3r_s)^2}$$ これは $r=0$（除外）、$r=3r_s$ で消え、$r>3r_s/2$ の範囲では他に消える点はない。この唯一の内部の根が限界安定半径である: $$r_{\text{ISCO}} = 3r_s = \dfrac{6GM}{c^2}$$ $r>3r_s$ では軌道は安定であり（$d\tilde L^2/dr>0$、ケプラーと同様、$r$ が大きいほどより大きな角運動量が必要）、$3r_s/2<r<3r_s$ では不安定である。

ステップ5（ヌル測地線からの光子球）。 ヌル測地線については、$\kappa=0$ とした同じ代入から代わりに $$\left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2 = E^2 - \frac{L^2}{r^2}\left(1-\frac{r_s}{r}\right) \equiv E^2 - V^2_{\gamma}(r)$$ が得られ、$$V^2_\gamma(r) = L^2\left(\frac{1}{r^2}-\frac{r_s}{r^3}\right)$$ である。括弧内の導関数をゼロとおくと、$$\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r^2}-\frac{r_s}{r^3}\right) = -\frac{2}{r^3}+\frac{3r_s}{r^4}=0 \;\Longrightarrow\; r=\frac{3r_s}{2}$$ により円光子軌道の唯一の半径が直接得られ、$$r_{\text{ph}} = \dfrac{3}{2}r_s = \dfrac{3GM}{c^2}$$ ステップ3で見つけた極限と一致する。そこでは括弧 $1/r^2-r_s/r^3$ が極小ではなく局所的極大を持つため不安定である — 内側へのわずかなずれは光子を地平面へ渦巻き落とし、外側へのわずかなずれは無限遠へ脱出させる。