ディリクレの近似定理(ファレイ分割)

$0,\{\alpha\},\{2\alpha\},\dots,\{Q\alpha\},1$ という $Q+2$ 個の数を考える。ここで $\{x\}$ は $x$ の小数部分であり、すべて $[0,1]$ に属する。$[0,1]$ を長さ $1/(Q+1)$ の $Q+1$ 個の等しい小区間に分割する:$[0,\tfrac1{Q+1}), [\tfrac1{Q+1},\tfrac2{Q+1}),\dots$。

$Q+2$ 個の数に対して小区間は $Q+1$ 個しかないので、鳩の巣原理により、あるふたつの数 $\{j\alpha\}$ と $\{i\alpha\}$($0\le i<j\le Q$、$i=0$ すなわち $\{i\alpha\}=0$ も許す)が同じ小区間に入り、$1/(Q+1)$ 未満の差になる:$|\{j\alpha\}-\{i\alpha\}|<\tfrac{1}{Q+1}$。

$q=j-i$ とおくと $1\le q\le Q$。$\{j\alpha\}-\{i\alpha\} = (j\alpha - i\alpha) - (\lfloor j\alpha\rfloor - \lfloor i\alpha\rfloor) = q\alpha - a$($a=\lfloor j\alpha\rfloor-\lfloor i\alpha\rfloor$ は整数)なので、$|q\alpha - a| < \tfrac{1}{Q+1}$、すなわち $\left|\alpha-\dfrac aq\right| < \dfrac{1}{q(Q+1)}$ が得られる。

最後に $\gcd(a,q)=d>1$ ならば $a$ と $q$ を $d$ で割る:得られる分数は分母がさらに小さく、$\alpha$ との距離も同じか小さいので、一般性を失うことなく $\gcd(a,q)=1$ とできる。以上で証明が完了する。これは有限で構成的な鳩の巣論法であり、未証明の評価には一切頼っていない。