抽出(直交性)恒等式

まず直交関係を用いる:$\int_0^1 e(m\alpha)\, d\alpha$$=1$($m=0$ のとき)、$=0$($m\neq 0$ のとき)。$e(m\alpha)=\cos(2\pi m\alpha)+i\sin(2\pi m\alpha)$ と書けば、$m\neq0$ のときこれは $[0,1)$ 上でサイン・コサイン波のちょうど整数周期分であり積分は $0$ になる。$m=0$ のとき被積分関数は定数 $1$ である。

次に母関数の $k$ 乗を展開する:$F_A(\alpha)^k=\Big(\sum_{a\in A}e(a\alpha)\Big)^k=\sum_{(a_1,\dots,a_k)\in A^k} e\big((a_1+\cdots+a_k)\alpha\big)$、これは指数 $m=a_1+\cdots+a_k$ ごとにまとめた、$A$ からの順序付き $k$ 組全体にわたる有限和である。

両辺に $e(-n\alpha)$ を掛け、$[0,1)$ 上で項別に積分する(有限和なので積分と和の交換は正当である):$\int_0^1 F_A(\alpha)^k e(-n\alpha)\,d\alpha=\sum_{(a_1,\dots,a_k)\in A^k}\int_0^1 e\big((a_1+\cdots+a_k-n)\alpha\big)\,d\alpha$。

直交関係により、右辺の各項は $a_1+\cdots+a_k=n$ のときちょうど $1$、それ以外は $0$ である。したがって和全体は $a_1+\cdots+a_k=n$ を満たす組の個数、すなわち $r_k(n)$ にちょうど一致する。これにより恒等式が近似なしに厳密に証明される:これは漸近式ではなく恒等式である。