調和関数の平均値性質

一般性を失うことなく円板の中心を原点($x_0 = 0$)にとり、$0 \le r \le R$ に対して $\phi(r) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(r\cos\theta, r\sin\theta)\, d\theta$(半径 $r$ の円上での $u$ の平均)と定義する。$\phi'(r) = 0$ を示すことで $\phi$ が定数であることを証明する。

積分記号の下で微分すると、$\phi'(r) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \nabla u(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot (\cos\theta, \sin\theta)\, d\theta = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\partial u}{\partial n}\, d\theta$ となる。ここで $(\cos\theta,\sin\theta)$ は半径 $r$ の円上の外向き単位法線である。$r$ を掛けて割ることで、これは円 $\partial B_r$ 上の法線微分の正規化された境界積分になる。

発散定理により、$u$ が調和であるから $\int_{\partial B_r} \frac{\partial u}{\partial n}\, ds = \int_{B_r} \nabla^2 u \, dA = 0$ となる。したがって定義域内のすべての $r$ で $\phi'(r) = 0$ であり、$\phi(r) = \phi(0^+) = u(x_0)$ がそのようなすべての $r$ で成り立つ:$x_0$ を中心とするどの円上の平均も $u(x_0)$ 自身に等しく、この一定値を $0 \le r \le R$ 上で平均しても円板全体の平均が $u(x_0)$ に等しいことが分かる。