ラプラス方程式

調和関数はどの方向も特別扱いしない:あらゆる点で正味の曲率がゼロである($x$ 軸方向と $y$ 軸方向の曲率の和がちょうど打ち消し合う)ため、ある点を中心とする円周をたどるとき平均して上に膨らむことも下にへこむこともできない——中心にとって一貫した値は円周の平均値だけである。

一般性を失うことなく円板の中心を原点($x_0 = 0$)にとり、$0 \le r \le R$ に対して $\phi(r) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(r\cos\theta, r\sin\theta)\, d\theta$(半径 $r$ の円上での $u$ の平均)と定義する。$\phi'(r) = 0$ を示すことで $\phi$ が定数であることを証明する。

積分記号の下で微分すると、$\phi'(r) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \nabla u(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot (\cos\theta, \sin\theta)\, d\theta = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\partial u}{\partial n}\, d\theta$ となる。ここで $(\cos\theta,\sin\theta)$ は半径 $r$ の円上の外向き単位法線である。$r$ を掛けて割ることで、これは円 $\partial B_r$ 上の法線微分の正規化された境界積分になる。

発散定理により、$u$ が調和であるから $\int_{\partial B_r} \frac{\partial u}{\partial n}\, ds = \int_{B_r} \nabla^2 u \, dA = 0$ となる。したがって定義域内のすべての $r$ で $\phi'(r) = 0$ であり、$\phi(r) = \phi(0^+) = u(x_0)$ がそのようなすべての $r$ で成り立つ:$x_0$ を中心とするどの円上の平均も $u(x_0)$ 自身に等しく、この一定値を $0 \le r \le R$ 上で平均しても円板全体の平均が $u(x_0)$ に等しいことが分かる。

平均値性質は、内部のあらゆる値が周囲の円周全体の値の平均に等しいと述べる。平均が全体の最大値に等しくなり得るのは、平均されるすべての値がすでにその最大値に等しい場合だけである——したがって真に孤立した内部のピークはあり得ない:中心が可能な限り高いなら、周囲の円板全体もちょうどそれと同じ高さでなければならず、これは境界に達するまで外側へ広がっていく。

$u$ が $\overline{\Omega}$ 上での最大値 $M$ を内部の点 $x_0 \in \Omega$ で達成すると仮定する。$S = \{x \in \Omega : u(x) = M\}$ とおくと、連続性により $S$ は $\Omega$ 内で閉であり、$x_0 \in S$ なので空でない。

$S$ は開でもある:任意の $x_1 \in S$ に対して、小さな円板 $B_r(x_1) \subset \Omega$ を選ぶ。平均値性質より $M = u(x_1) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(x_1 + r\cos\theta, x_1 + r\sin\theta)\, d\theta$ となり、これはすべて $\le M$ である値の平均である。$M$ 以下の量の平均が $M$ に等しくなるのは、それらすべての量が $M$ に等しい場合に限られるので、$u \equiv M$ が円周 $\partial B_r(x_1)$ 全体で成り立ち、同じ議論を $r$ までのすべての半径に適用すると円板 $B_r(x_1)$ 全体でも成り立つ。したがって $x_1$ のある近傍が $S$ に含まれ、$S$ は開である。

$\Omega$ が連結であり、$S$ が $\Omega$ 内で開かつ閉な空でない部分集合であることから、$S = \Omega$ でなければならず、すなわち $u \equiv M$ が $\Omega$ 全体で成り立つ。しかし $u$ は非定数と仮定していたので矛盾である。したがって内部最大値は存在しない。同じ議論を(同じく調和な)$-u$ に適用すれば内部最小値も排除され、両方の極値は $\partial\Omega$ 上でのみ生じることになる。