調和関数に対する最大値原理

$u$ が $\overline{\Omega}$ 上での最大値 $M$ を内部の点 $x_0 \in \Omega$ で達成すると仮定する。$S = \{x \in \Omega : u(x) = M\}$ とおくと、連続性により $S$ は $\Omega$ 内で閉であり、$x_0 \in S$ なので空でない。

$S$ は開でもある:任意の $x_1 \in S$ に対して、小さな円板 $B_r(x_1) \subset \Omega$ を選ぶ。平均値性質より $M = u(x_1) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(x_1 + r\cos\theta, x_1 + r\sin\theta)\, d\theta$ となり、これはすべて $\le M$ である値の平均である。$M$ 以下の量の平均が $M$ に等しくなるのは、それらすべての量が $M$ に等しい場合に限られるので、$u \equiv M$ が円周 $\partial B_r(x_1)$ 全体で成り立ち、同じ議論を $r$ までのすべての半径に適用すると円板 $B_r(x_1)$ 全体でも成り立つ。したがって $x_1$ のある近傍が $S$ に含まれ、$S$ は開である。

$\Omega$ が連結であり、$S$ が $\Omega$ 内で開かつ閉な空でない部分集合であることから、$S = \Omega$ でなければならず、すなわち $u \equiv M$ が $\Omega$ 全体で成り立つ。しかし $u$ は非定数と仮定していたので矛盾である。したがって内部最大値は存在しない。同じ議論を(同じく調和な)$-u$ に適用すれば内部最小値も排除され、両方の極値は $\partial\Omega$ 上でのみ生じることになる。