熱方程式に対する弱最大値原理

$\varepsilon>0$ を固定し、$v(x,t) = u(x,t) - \varepsilon t$ とおくと、開矩形上のすべての点で $v_t - \alpha v_{xx} = u_t - \varepsilon - \alpha u_{xx} = -\varepsilon < 0$ となる。背理法のため、$v$ が閉矩形上の最大値を、放物型境界の外にある内点 $(x_0,t_0)$($0<x_0<L$、$0<t_0\le T$)で達成すると仮定する。

$x_0$ が空間的な内部最大点であることから、二階微分の判定により $v_{xx}(x_0,t_0)\le 0$ となる。$t_0$ が $t\in[0,T]$ における最大値の達成点であることから(内部の臨界時刻なら $v_t(x_0,t_0)=0$、左から近づく端点 $t_0=T$ なら $v_t(x_0,t_0)\ge 0$)、いずれの場合も $v_t(x_0,t_0)\ge 0$ となる。

2つの不等式を組み合わせると $v_t(x_0,t_0) - \alpha v_{xx}(x_0,t_0) \ge 0 - \alpha\cdot 0 = 0$ となり、すべての点で成り立つ $v_t-\alpha v_{xx}=-\varepsilon<0$ と矛盾する。したがってそのような内部最大点は存在せず、$v$ の最大値は放物型境界 $\Gamma$(初期辺と2つの側辺)上にあるので、$u(x,t) \le \varepsilon t + \max_{\Gamma} u$ がすべての点で成り立つ。$\varepsilon \to 0^+$ とすれば $u$ 自身に対する最大値原理が証明される。