微分方程式と力学系

熱方程式

時間とともに温度がどのように拡散するかを記述する、放物型偏微分方程式の典型例。

直観拡散が温度差をならしていく

熱いコインを冷たい水の入ったボウルに落とすと、熱い部分と冷たい部分の間の鋭い境界はそのまま保たれない。熱は温かい領域から冷たい領域へと流れ、わずかな時間で温度分布は急な段差ではなく滑らかな曲線になる。これこそ熱方程式が捉える本質的な振る舞いである:温度分布 $u(x,t)$ が時間とともにどう変化し、山がならされ、谷が埋まり、初期形状の正確な情報が徐々にぼやけていくか――しかも自発的に逆戻りすることはない――を定める規則である。

熱方程式の解は減衰するフーリエモードの和であり、各モードは

e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}

に従って縮小する。

n

(項数)を増やして粗い初期プロファイルを確認し、高周波数の(「波打つ」)成分が先に消え、滑らかな基本モードが最後まで残る様子を観察しよう。

大学熱方程式とフーリエ正弦級数解

定義: 熱(拡散)方程式

長さ $L$ の棒上の位置 $x$ 、時刻 $t \ge 0$ における温度を $u(x,t)$ とする。熱方程式は $u_t = \alpha u_{xx}$ と表され、 $\alpha > 0$ は材料の熱拡散率である: $\alpha$ が大きいほど熱はより速く広がる。有限の棒では、例えば $u(0,t) = u(L,t) = 0$ (両端の温度をゼロに保つ)のような境界条件と、時刻ゼロでの温度分布を表す初期条件 $u(x,0) = f(x)$ を課す。

u_t = \alpha\, u_{xx}, \qquad 0 < x < L,\ t > 0

方程式と境界条件が線形であるため、解は重ね合わせによって構成できる。変数分離( $u = X(x)T(t)$ )を行うと、 $X$ は境界条件を満たす二階微分の固有関数、すなわち $n = 1, 2, 3, \dots$ に対する $\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$ でなければならず、それぞれに時間方向の指数減衰 $e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$ が対応する。初期データに一致するように選んだ係数 $b_n$ でこれらすべてのモードを足し合わせると一般解が得られる。

u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}, \qquad b_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx

熱方程式と他の2つの古典的2階偏微分方程式との比較
方程式	公式	型・振る舞い
熱方程式	$u_t = \alpha u_{xx}$	放物型;不可逆な平滑化、伝播速度は無限大
波動方程式	$u_{tt} = c^2 u_{xx}$	双曲型;振動、有限の伝播速度、時間反転可能
ラプラス方程式	$u_{xx} + u_{yy} = 0$	楕円型;定常状態(時間依存なし)、最大値原理

大学中心となる定理:級数解と最大値原理

定理: 変数分離による解の存在

$0<x<L$ 上の熱方程式 $u_t = \alpha u_{xx}$ に対し、境界条件 $u(0,t) = u(L,t) = 0$ と初期条件 $u(x,0) = f(x)$ (ここで $f$ は区分的に連続)が与えられたとき、係数 $b_n = \dfrac{2}{L}\displaystyle\int_0^L f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$ をもつ級数 $u(x,t) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$ は( $t>0$ で)これら3条件をすべて満たす解に収束する。

なぜ正しいのか?

この特定の周波数を持つ正弦関数は、両端の温度をゼロに保ちながら時間的に独立に減衰する、まさにその形である。あらゆる妥当な初期形状はそのような正弦波の和(フーリエ正弦級数)として書けるため、同じ分解によって以後のすべての時刻における解が直ちに得られる。

証明

分離形の解 $u(x,t)=X(x)T(t)$ を求める。 $u_t = \alpha u_{xx}$ に代入すると $X(x)T'(t) = \alpha X''(x)T(t)$ となり、 $\alpha X(x)T(t)$ で割ると変数分離できる: $\dfrac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \dfrac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda$ 。左辺は $t$ のみ、右辺は $x$ のみに依存するため、 $\lambda$ は定数でなければならない。

境界条件 $u(0,t) = u(L,t) = 0$ により $X(0)=X(L)=0$ となる。この境界条件のもとで固有値問題 $X'' + \lambda X = 0$ が非自明な解をもつのは $\lambda_n = (n\pi/L)^2$ ( $n=1,2,3,\dots$ )のときのみで、固有関数は $\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$ である。それ以外の $\lambda$ では $X \equiv 0$ となる。 $T'(t) = -\alpha\lambda_n T(t)$ を解くと $T_n(t) = e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$ が得られる。

各積 $u_n(x,t) = \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$ は方程式と境界条件を満たす。線形性により、有限和、あるいは(緩やかな収束条件のもとで)無限和 $u(x,t) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$ も同様である。 $t=0$ とおき、直交関係 $\int_0^L \sin(\frac{n\pi x}{L})\sin(\frac{m\pi x}{L})\,dx = 0$ ( $n \ne m$ 、 $n=m$ のとき $=L/2$ )を用いて $f(x)$ を各モードに射影すると、ちょうど係数 $b_n = \dfrac{2}{L}\displaystyle\int_0^L f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$ が得られ、初期条件 $u(x,0) = f(x)$ が各項ごとに一致する。

定理: 熱方程式に対する弱最大値原理

$[0,L]\times[0,T]$ 上で連続かつ開矩形 $0<x<L,\ 0<t\le T$ 上で $u_t = \alpha u_{xx}$ を満たす関数 $u$ を考える。このとき閉矩形全体における $u$ の最大値は、すでに「放物型境界」——初期辺 $t=0$ 、または2つの側辺 $x=0$ 、 $x=L$ のいずれか——で達成されており、 $u$ がそこで定数でない限り $t>0$ の内点で達成されることはない。

なぜ正しいのか?

熱は初期データと境界温度以外のどこからも来ない。もしある内部の隠れた点が後の時刻で唯一最も熱い場所になるとすれば、そこで熱が自発的に生成されなければならないが、拡散過程はそれを許さない——拡散は熱を熱い場所から冷たい場所へ運ぶだけで、何もない場所に新たな山を作り出すことは決してない。

証明

$\varepsilon>0$ を固定し、 $v(x,t) = u(x,t) - \varepsilon t$ とおくと、開矩形上のすべての点で $v_t - \alpha v_{xx} = u_t - \varepsilon - \alpha u_{xx} = -\varepsilon < 0$ となる。背理法のため、 $v$ が閉矩形上の最大値を、放物型境界の外にある内点 $(x_0,t_0)$ ( $0<x_0<L$ 、 $0<t_0\le T$ )で達成すると仮定する。

$x_0$ が空間的な内部最大点であることから、二階微分の判定により $v_{xx}(x_0,t_0)\le 0$ となる。 $t_0$ が $t\in[0,T]$ における最大値の達成点であることから(内部の臨界時刻なら $v_t(x_0,t_0)=0$ 、左から近づく端点 $t_0=T$ なら $v_t(x_0,t_0)\ge 0$ )、いずれの場合も $v_t(x_0,t_0)\ge 0$ となる。

2つの不等式を組み合わせると $v_t(x_0,t_0) - \alpha v_{xx}(x_0,t_0) \ge 0 - \alpha\cdot 0 = 0$ となり、すべての点で成り立つ $v_t-\alpha v_{xx}=-\varepsilon<0$ と矛盾する。したがってそのような内部最大点は存在せず、 $v$ の最大値は放物型境界 $\Gamma$ (初期辺と2つの側辺)上にあるので、 $u(x,t) \le \varepsilon t + \max_{\Gamma} u$ がすべての点で成り立つ。 $\varepsilon \to 0^+$ とすれば $u$ 自身に対する最大値原理が証明される。

大学実世界での応用と具体例

熱方程式は熱力学の範囲をはるかに超えて応用される。工学では壁、エンジン部品、電子チップを通る熱伝導をモデル化し、環境科学では大気や水中の汚染物質の拡散をモデル化する。画像処理における「ガウスぼかし」はまさにピクセル強度に適用された熱核であり、数理ファイナンスではオプション価格付けのブラック–ショールズ方程式が変数変換によってまさにこの方程式に変換できる——だからこそオプション価格の閉形式公式が存在するのである。

例: 混合周波数の初期分布を持つ棒の冷却

長さ $L=\pi$ 、拡散率 $\alpha=1$ の棒の両端の温度をゼロに保ち、初期温度を $u(x,0) = 3\sin(x) - \sin(3x)$ とする。 $t>0$ における $u(x,t)$ を求めよ。

解答

初期条件 $u(x,0) = 3\sin(x) - \sin(3x)$ ( $0<x<\pi$ 、 $L=\pi$ 、 $\alpha=1$ )は、すでに固有関数 $\sin(nx)$ の組み合わせとして書かれている: $n=1$ (係数 $3$ )と $n=3$ (係数 $-1$ )のみを用い、他のすべての係数は $b_n=0$ である。

変数分離定理により、各モード $\sin(nx)$ はそれぞれの減衰係数 $e^{-n^2 t}$ を掛けられるだけである(ここで $\alpha=1$ 、 $L=\pi$ なので $(n\pi/L)^2=n^2$ )。初期データがすでに有限の正弦和であるため、積分は不要である。

$n=1$ と $n=3$ を級数に代入すると $u(x,t) = 3\sin(x)e^{-t} - \sin(3x)e^{-9t}$ となる。 $n=3$ の項は $n=1$ の項より9倍速く減衰することに注意しよう。したがって $t$ が大きいとき、温度分布はほぼ $3\sin(x)e^{-t}$ という単一の滑らかな山のようになる——高周波モードが先に消える様子を直接示す例である。

例: 基本解:静止した水路における汚染物質のプルーム

全質量 $M=100$ (任意単位)の汚染物質が、長く静止した水路の $x=0$ で瞬間的に放出され、 $\alpha = 0.5\ \text{m}^2/\text{s}$ で拡散する。下流 $x=2\ \text{m}$ 、 $t=10\ \text{s}$ 後の濃度 $u(2,10)$ を推定せよ。

解答

非有界領域において、 $x=0$ 、 $t=0$ で質量 $M$ が点放出されると、基本解(熱核) $u(x,t) = \dfrac{M}{\sqrt{4\pi\alpha t}}\, e^{-x^2/(4\alpha t)}$ に従って広がる。これはフーリエ級数構成の $n\to\infty$ 、 $L\to\infty$ の極限に他ならず、鋭いスパイクとして始まり、全面積 $M$ を保ちながら時間とともに平坦化していくガウス型の山である。

$M=100$ (任意の濃度単位)、 $\alpha = 0.5\ \text{m}^2/\text{s}$ 、 $x=2\ \text{m}$ 、 $t=10\ \text{s}$ とすると:まず指数部を計算する。 $\dfrac{x^2}{4\alpha t} = \dfrac{4}{4(0.5)(10)} = \dfrac{4}{20} = 0.2$ より $e^{-0.2} \approx 0.819$ 。

係数部を計算する: $\sqrt{4\pi\alpha t} = \sqrt{4\pi (0.5)(10)} = \sqrt{20\pi} \approx 7.927$ より $\dfrac{M}{\sqrt{4\pi\alpha t}} \approx \dfrac{100}{7.927} \approx 12.61$ 。掛け合わせると $u(2,10) \approx 12.61 \times 0.819 \approx 10.3$ :放出10秒後、下流2メートル地点での濃度は約 $10.3$ 単位まで下がり、 $t$ が増えるにつれさらに低下・拡散していく——平滑化性質を直接示す例である。

熱方程式 $u_t = \alpha u_{xx}$ (棒の長さ $L=2$ 、 $\alpha=3$ 、境界条件 $u(0,t) = u(L,t) = 0$ )のとき、 $n$ 番目のモードが $e^{-\lambda_n t}$ のように減衰するときの減衰率 $\lambda_n$ を $n=2$ について求めよ。

熱方程式の弱最大値原理によれば、閉じた時空矩形における最大温度はどこで生じなければならないか。

基本解 $u(x,t) = \frac{M}{\sqrt{4\pi\alpha t}}e^{-x^2/(4\alpha t)}$ を用いた汚染物質拡散の例において、 $t \to \infty$ のとき濃度分布はどうなるか。

なぜ数理ファイナンスのブラック–ショールズ・オプション価格方程式は閉形式解を持つのか。

参考文献

Lawrence C. Evans (2010). Partial Differential Equations
James Ward Brown, Ruel V. Churchill (2011). Fourier Series and Boundary Value Problems