変数分離による解の存在

分離形の解 $u(x,t)=X(x)T(t)$ を求める。$u_t = \alpha u_{xx}$ に代入すると $X(x)T'(t) = \alpha X''(x)T(t)$ となり、$\alpha X(x)T(t)$ で割ると変数分離できる:$\dfrac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \dfrac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda$。左辺は $t$ のみ、右辺は $x$ のみに依存するため、$\lambda$ は定数でなければならない。

境界条件 $u(0,t) = u(L,t) = 0$ により $X(0)=X(L)=0$ となる。この境界条件のもとで固有値問題 $X'' + \lambda X = 0$ が非自明な解をもつのは $\lambda_n = (n\pi/L)^2$($n=1,2,3,\dots$)のときのみで、固有関数は $\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$ である。それ以外の $\lambda$ では $X \equiv 0$ となる。$T'(t) = -\alpha\lambda_n T(t)$ を解くと $T_n(t) = e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$ が得られる。

各積 $u_n(x,t) = \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$ は方程式と境界条件を満たす。線形性により、有限和、あるいは(緩やかな収束条件のもとで)無限和 $u(x,t) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$ も同様である。$t=0$ とおき、直交関係 $\int_0^L \sin(\frac{n\pi x}{L})\sin(\frac{m\pi x}{L})\,dx = 0$($n \ne m$、$n=m$ のとき $=L/2$)を用いて $f(x)$ を各モードに射影すると、ちょうど係数 $b_n = \dfrac{2}{L}\displaystyle\int_0^L f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$ が得られ、初期条件 $u(x,0) = f(x)$ が各項ごとに一致する。