素数定理

この証明は解析的な道筋の論理的スケッチであり、自己完結した導出ではない——カリキュラムのもっと後で導入される複素解析が必要である(詳細はリーマンゼータ関数のトピックを参照)。論証は三段階からなる。

第1段階(θへの帰着):通常の部分和分による議論により、$\pi(x) \sim x/\log x$ は $\theta(x) \sim x$ と同値であることが示される。ここで $\theta(x)=\sum_{p\le x}\log p$ は上のチェビシェフの評価と同じものである。

第2段階(ζを通じたθの符号化):リーマンの明示公式は $\theta(x)$(より正確には近縁の $\psi(x)=\sum_{p^k\le x}\log p$)を $\zeta(s)=\sum_n n^{-s}=\prod_p(1-p^{-s})^{-1}$ の零点を用いてほぼ正確に表す:主要項 $x$ は $\zeta$ が $s=1$ に持つ単純極から来て、$\zeta$ の各零点 $\rho=\beta+i\gamma$ はおよそ $x^{\beta}$ の大きさの振動する誤差項を寄与する。

第3段階(鍵となる非消失性):$\psi(x)\sim x$——したがって定理——は、どの零点も $\beta=1$ を持たない場合、すなわち $\zeta(1+it) \ne 0 \text{ for all } t \in \mathbb{R}$ の場合に限り成り立つ。アダマールとド・ラ・ヴァレー・プーサンは1896年、それぞれ独立に、初等的な三角不等式($3+4\cos\theta+\cos2\theta\ge0$)を $\sigma\to1^+$ のときの $\log|\zeta(\sigma)^3\zeta(\sigma+it)^4\zeta(\sigma+2it)|$ に適用してこの非消失性を証明した:$1+it$ に零点があればこの式は $-\infty$ に発散するが、不等式はそれを禁じる。ニューマンの1980年の証明は第3段階の帰結を短いタウバー型論法に凝縮したが、論理的な骨格——$1$ における極、他所の零点、直線 $\operatorname{Re}(s)=1$ 上の非消失性——はリーマンとアダマールが示した通りである。