素数定理

アダマールとド・ラ・ヴァレー・プーサンによる1896年の解析的証明の前に、チェビシェフ(1852年)は二項係数だけを用いて初等的に、素数の個数が x/log x の定数倍の範囲に収まることをすでに示していた。この評価は定理全体のあらゆる証明への後の入力となる重要な初等的要素であり、その中心二項係数の技法はエルデシュによるベルトラン仮説の有名な初等証明の背後にあるものと同じである。

$n$ に関する強い数学的帰納法を用いる。基底段階 $n=1,2$ は自明:$\theta(1)=0$、$\theta(2)=\log 2 < \log 4$。

帰納段階では、$n$ より小さいすべての正の整数について評価が成り立つと仮定する。$n>2$ が偶数なら $n$ は素数でないので、帰納法の仮定を $n-1$ に適用して $\theta(n)=\theta(n-1) < (\log4)(n-1) < (\log4)n$。

$n=2m+1$ が奇数の場合、係数 $\binom{2m+1}{m}=\dfrac{(2m+1)!}{m!\,(m+1)!}$ を考える。これは $(1+1)^{2m+1}$ の二項展開の $2^{2m+1}$ 個の項のうち2回現れる($\binom{2m+1}{m}$ として1回、$\binom{2m+1}{m+1}$ として1回、両者は等しい)ので、$2\binom{2m+1}{m} \le 2^{2m+1}$、すなわち $\binom{2m+1}{m} \le 4^m$。

$m+1 < p \le 2m+1$ を満たすすべての素数 $p$ は分子 $(2m+1)!$ を割り切るが $m!$ も $(m+1)!$ も割り切らない($p>m+1$ のため)ので、$p$ は $\binom{2m+1}{m}$ を割り切る。したがってそのようなすべての素数の積が $\binom{2m+1}{m}$ を割り切り、$\prod_{m+1<p\le 2m+1} p \le \binom{2m+1}{m} \le 4^m$、すなわち $\theta(2m+1)-\theta(m+1) \le (\log 4)\,m$。

$m+1<n$ に帰納法の仮定を適用すると $\theta(m+1) < (\log4)(m+1)$。足し合わせると $\theta(n)=\theta(2m+1) < (\log4)(m+1) + (\log4)m = (\log4)(2m+1) = (\log4)n$ となり、帰納法が完了する。

上のチェビシェフの評価は π(x) を x/log x の定数倍の範囲に収めるが、「漸近的に等しい」ははるかに強い主張である:比 π(x)/(x/log x) は有界であるだけでなく、ちょうど1に収束しなければならない。「有界」から「ちょうど1」へとその隔たりを埋めるには、まったく異なる発想——素数の分布がゼータ関数 ζ(s) の複素零点に符号化されているというリーマンの1859年の洞察——が必要だった。

この証明は解析的な道筋の論理的スケッチであり、自己完結した導出ではない——カリキュラムのもっと後で導入される複素解析が必要である(詳細はリーマンゼータ関数のトピックを参照)。論証は三段階からなる。

第1段階(θへの帰着):通常の部分和分による議論により、$\pi(x) \sim x/\log x$ は $\theta(x) \sim x$ と同値であることが示される。ここで $\theta(x)=\sum_{p\le x}\log p$ は上のチェビシェフの評価と同じものである。

第2段階(ζを通じたθの符号化):リーマンの明示公式は $\theta(x)$(より正確には近縁の $\psi(x)=\sum_{p^k\le x}\log p$)を $\zeta(s)=\sum_n n^{-s}=\prod_p(1-p^{-s})^{-1}$ の零点を用いてほぼ正確に表す:主要項 $x$ は $\zeta$ が $s=1$ に持つ単純極から来て、$\zeta$ の各零点 $\rho=\beta+i\gamma$ はおよそ $x^{\beta}$ の大きさの振動する誤差項を寄与する。

第3段階(鍵となる非消失性):$\psi(x)\sim x$——したがって定理——は、どの零点も $\beta=1$ を持たない場合、すなわち $\zeta(1+it) \ne 0 \text{ for all } t \in \mathbb{R}$ の場合に限り成り立つ。アダマールとド・ラ・ヴァレー・プーサンは1896年、それぞれ独立に、初等的な三角不等式($3+4\cos\theta+\cos2\theta\ge0$)を $\sigma\to1^+$ のときの $\log|\zeta(\sigma)^3\zeta(\sigma+it)^4\zeta(\sigma+2it)|$ に適用してこの非消失性を証明した:$1+it$ に零点があればこの式は $-\infty$ に発散するが、不等式はそれを禁じる。ニューマンの1980年の証明は第3段階の帰結を短いタウバー型論法に凝縮したが、論理的な骨格——$1$ における極、他所の零点、直線 $\operatorname{Re}(s)=1$ 上の非消失性——はリーマンとアダマールが示した通りである。